Μανόλης Μαργαρίτης

καλημέρα σε όλους
Διονύση, ο διακόπτης δραπέτευσε…

Καλημέρα Διονύση. Πρέπει να κάνουμε ένα σχόλιο εδώ:
Αφού VΑΒ=0 , και η αντίσταση του αμπερομετρου μηδέν τότε:
Ι= VA/ rA = 0/0 !!!!
Έτσι δικαιολογείται η ένταση ΙΑ
Αν rA διάφορη του μηδενος έχουμε σύστημα Γέφυρας.

Καλημέρα σε όλους.
Βαγγέλη, Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Βαγγέλη ο διακόπτης δεν έφυγε, υπήρχε μέσα στο αρχείο, όταν το άνοιγες.
Απλά σαν χαρακτηριστική εικόνα είχα επιλέξει το κύκλωμα του 3ου ερωτήματος, αφού μου φάνηκε πιο “όμορφο” χωρίς τον διακόπτη.
Αλλά για να μην με κατηγορήσεις ότι κλέβω διακόπτες, άλλαξα την εικόνα, με το 1ο σχήμα…
Όσον αφορά το 0/0 Γιώργο και Γιάννη, δίνεται η ευκαιρία στον διδάσκοντα να μιλήσει για το ιδανικό αμπερόμετρο.
Υπάρχει πράγματι; Με εσωτερική αντίσταση μηδέν; Μήπως έχει αντίσταση, απλά την θεωρούμε αμελητέα;
Εδώ θα μπορούσε να παίξει και με αριθμούς και δίνοντας για παράδειγμα r=0,01Ω, να υπολογίσει τάση ίση με 0,024V, οπου λογικό είναι να την προσεγγίσουμε σαν μηδενική και αντίστοιχα το αμπερόμετρο ως έχον μηδενική αντίσταση.

πολύ καλή Διονύση
είδα επέστρεψε ο δραπέτης
σε πρόσφατη ανάρτηση στον δικό μου χώρο γράφω: σε κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα πρέπει να υπάρχει διακόπτης για λόγους ελέγχου του κυκλώματος, οικονομίας και ασφαλείας
εναλλακτικά μπορούμε να βρούμε τις τάσεις στα Α και Β ως Ε-Ι1R1
και Ε-Ι2R2
(κάνε R34 ένα R33)
Γιώργο και Γιάννη
το ίδιο πρόβλημα με την 0 τάση στα άκρα κάθε αμπερομέτρου, σε κάθε κύκλωμα, συναντάμε, επειδή ακριβώς θεωρούμε ιδανικά τα όργανα, και με τα άκρα ιδανικού καλωδίου σύνδεσης σε κάθε κύκλωμα, η τάση στα άκρα του θεωρείται 0, αλλά διαρρέεται από το ρεύμα που ρυθμίζουν οι άλλοι παράγοντες του κυκλώματος

Καλημέρα Βαγγέλη.
Μπορούμε να βρούμε τη VΑΒ από διαιρέτες τάσης:
VAB=24*6/8 – 24*4/12 = 18 – 8 =10 V.
Ο διαιρέτης τάσης διδασκόταν κάποτε.

Διονύση καλησπέρα.
Εξαιρετική. Διόρθωσε στο τέλος της 1ης σελίδα στο iii) συνδεόνται παράλληλα οι R1 και R2 και ο R3 με τον R4

Καλό μεσημέρι Χρήστο και σε ευχαριστώ τόσο για τ οσχολιασμό, όσο και για την διόρθωση…

Καλό μεσημέρι, Διονύση ωραία και κυρίως χρήσιμη.Το θέμα με το ιδανικό αμπερόμετρο δίνει την ευκαιρία για αναφορά στη σχέση V=IR, η οποία μας πληροφορεί ότι μπορεί να υπάρχει αποτέλεσμα (Ι) χωρίς να υπάρχει αίτιο(V), αρκεί R=0, θεωρητικά βεβαίως.

Καλό απόγευμα Ξενοφώντα.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Διονύση καλημέρα.
Πολύ ωραίο θέμα, μπράβο. Πρέπει να είχα δει κάτι σχετικό για τον υπολογισμό του ρεύματος στα βραχυκυκλώματα την δεκαετία του ογδόντα!
Όσο για το 0/0 δεν τίθεται θέμα, διότι τον νόμο του Ohm σε τμήμα του κυκλώματος τον εφαρμόζουμε μόνο στα άκρα ωμικών αντιστατών. Διαφορετικά θα είχαμε θέμα στα άκρα οποιουδήποτε απλού αγωγού σύνδεσης μηδενικής αντίστασης. Νομίζω.

Καλημέρα σε όλους
Μπορεί να δραπέτευσε ο διακόπτης ( Βαγγέλης ) χωρίς πρόβλημα αλλά ακόμα είναι δραπέτης ο υπολογισμός των εντάσεων στο i)

Καλημέρα Στέφανε, καλημέρα Γρηγόρη και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Στέφανε επανέρχομαι σε λίγο, πάνω στην τοποθέτησή σου.
Γρηγόρη, δεν στο είχα να είσαι .. μαρτυριάρης 🙂

Στέφανε ας δούμε κάτι ανάλογο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

https://arxeialykeioy.wordpress.com/wp-content/uploads/2025/02/08.png

Ένα σώμα κατεβαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα. Στο σώμα ασκείται δύναμη τριβής, η οποία έχει το ίδιο μέτρο με την συνιστώσα του βάρους την παράλληλη με το επίπεδο. Κατά την κίνηση αυτή, λόγω υψομετρικής διαφοράς Δh, η δυναμική ενέργεια, λόγω βαρύτητας μειώνεται και τελικά εμφανίζεται ως θερμική ενέργεια, μέσω του έργου της τριβής.
Στο κάτω σχήμα, δίνεται ένα τμήμα κυκλώματος, όπου διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι. Τότε πάνω στον πρώτο αντιστάτη εμφανίζεται μια πτώση τάσης ΔV, η οποία εκφράζει τη μείωση της δυναμικής ενέργειας, η οποία τελικά λόγω φαινομένου Joyle, εμφανίζεται με την μορφή θερμότητας πάνω στον αντιστάτη.
Ας έρθουμε στη συνέχεια σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο (το μεσαίο τμήμα του πρώτου σχήματος). Εκεί το σώμα δεν εμφανίζει τριβή, δεν δέχεται καμιά οριζόντια δύναμη και το σώμα κινείται χωρίς να έχουμε κάποια υψομετρική διαφορά Δh και χωρίς να παρουσιάζεται καμιά ενεργειακή μετατροπή.
Την ίδια εικόνα έχουμε και στο κάτω σχήμα, όπου έχουμε έναν αγωγό σύνδεσης ΒΓ, ο οποίος δεν έχει αντίσταση. Ο αγωγός διαρρέεται από την ίδια ένταση ρεύματος, χωρίς να εμφανίζει στα άκρα του κάποια διαφορά δυναμικού ΔV. Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουμε κάποια μείωση της δυναμικής ενέργειας των κινούμενων φορτίων, ούτε κάποια ενεργειακή μετατροπή.
Αξίζει εδώ να τονιστεί ότι η διαφορά δυναμικού, συνδέεται με την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και άρα με μια δύναμη από το ηλεκτρικό πεδίο, η οποία επιταχύνει το ηλεκτρικό φορτίο. Η μηδενική διαφορά δυναμικού σημαίνει ότι το φορτίο κινείται με σταθερή ταχύτητα στο χώρο… Αρκεί να σκεφτούμε ένα φορτισμένο σωματίδιο, που επιταχύνεται από μια τάση σε έναν αερόκενο σωλήνα. Η μείωση της δυναμικής του ενέργειας εμφανίζεται με τη μορφή αύξησης της κινητικής ενέργειας του σωματιδίου.

ΥΓ 1.
Προφανώς τα παραπάνω είναι μια αναλογία, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια δεν κινούνται στο εσωτερικό του αγωγού ΒΓ, με σταθερή ταχύτητα…

ΥΓ2.
Ελπίζω να μου συγχωρήσει την παραπάνω “απλοϊκή” ερμηνεία ο καθηγητής Παναγιώτης Κουμαράς αφού … άλλα ισχύουν:

Διαφορά δυναμικού μεταξύ δυο σημείων κυκλώματος …
μέσα απ’ τα ηλεκτρικά καλώδια ή γύρω τους;
 

Καλημέρα παιδιά.
Εξαιρετική ιδέα Διονύση!
Αυτό το 0/0 είναι το κλου.

https://i.ibb.co/pBCRc82M/2025-02-04-112019.jpg

Διονύση σε ευχαριστώ για την αναλυτική απάντηση με την οποία συμφωνώ απολύτως.
Άλλωστε είναι ακριβώς ο τρόπος με τον οποίο διδάσκω στους μαθητές μου της Β΄Λυκείου το ηλεκτρικό ρεύμα. Ακριβώς με αυτήν την αναλογία με το βαρυτικό πεδίο στο οποίο το σώμα κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα, άρα η ελάττωση της δυναμικής του ενέργειας δεν γίνεται κινητική ενέργεια αλλά θερμότητα (η ελάττωση της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας των ελεύθερων ηλεκτρονίων γίνεται θερμότητα στον αντιστάτη και όχι κινητική ενέργεια όπως σε μία διάταξη που επιταχύνει ηλεκτρόνια).
Γενικότερα πιστεύω ότι έστω και με απλουστεύσεις πρέπει να υπάρχει κατανόηση μέσα από την δράση δυνάμεων και ενεργειακών μετατροπών.
Αυτό που επίσης λέω είναι ότι δεν χρειάζεται ο προβληματισμός της απροσδιοριστίας 0/0, διότι δεν εφαρμόζουμε νόμο Οhm σε τμήμα κυκλώματος που δεν περιέχει μόνο ωμικούς αντιστάτες.

Καλησπέρα Στέφανε.
Χαίρομαι που συμφωνούμε.

Καλησπέρα Διονύση, καλησπέρα σε όλους

Να θυμίσω πως από τη σχολική χρονιά 2021-22 ο 2ος κανόνας Kirchhoff
διδάσκεται ή πρέπει να διδάσκεται στη Β’ Λυκείου.

Με χρήση του 2ου ΚΚ μπορούμε άμεσα να βρούμε οποιαδήποτε διαφορά δυναμικού.
Καλό θα ήταν να το χρησιμοποιούμε στη Β’ Λυκείου ώστε στη Γ’ τα παιδιά να μην
το συναντούν για πρώτη φορά…..

Για το κύκλωμα με κλειστό τον (δ), αφού βρούμε το ρεύμα που διαρρέει την πηγή Ι=6Α, αρκεί από τις σχέσεις I1*R1=I2*R2 να βρούμε πως Ι1=4*Ι2 και από 1ο ΚΚ Ι=Ι1+Ι2 να βρούμε τα ρεύματα.
Αντίστοιχα I3*R3=I4*R4 και 1ο ΚΚ Ι=Ι3+Ι4 να βρούμε τα ρεύματα.

Επίσης, θα προτιμούσα τον 1ο ΚΚ στον κόμβο Β Ι2=Ι(Α)+Ι4, ώστε να προκύψει
Ι(Α)=-1,2Α και να γίνει κουβέντα για τις αλγεβρικές τιμές των εντάσεων…

Καλημέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις παράλληλες διδακτικές πορείες που προτείνεις.

Καλημέρα σε όλους.
Μια άσκηση αφιερωμένη στον Ανδρέα Ριζόπουλο, με χρήση του ειδικού φορτίου, όπως θα ήθελε σε προηγούμενο σχόλιο του.

Καλημέρα Διονύση.
Κινήσεις μέσα σε μαγνητικό πεδίο, πάντα εν δυνάμει θέματα.
Λες και εξέρχεται από το σημείο Γ στην διεύθυνση της ΒΓ
Επιλέγεις να δώσεις ένα επί πλέον δεδομένο το στην διεύθυνση της ΒΓ
Θα μπορούσε να μην δίδεται.
Αν το φορτίο εξέρχεται από το Γ τότε η διευθυνση της ταχύτητας οφείλει να είναι αυτή της ΒΓ.
Αλλά αυτό θέλει απόδειξη.

Καλό μεσημέρι Γιώργο, σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Δεν είναι αυτονόητη η διεύθυνση εξόδου από το σημείο Γ. Και η απόδειξη δεν είναι και το ευκολότερο θέμα, απόδειξη που δεν ήταν στους στόχους της παρούσας ανάρτησης. Γι΄αυτό και το δεδομένο…

Καλημέρα παιδιά.
Ωραία άσκηση!
(Και εγώ θα επιθυμούσα να λείπει το δεδομένο μια και η απόδειξη είναι σύντομη και έξυπνη.)

Καλό απόγευμα Γιάννη.
Κάνε λίγο υπομονή, έρχονται άλλες δύο στην συνέχεια, οπότε θα αναδειχθεί και το σημείο που λέτε με το Γιώργο…

Καλησπέρα.
Καλή άσκηση Διονύση με χρήση του ειδικού φορτίου και με ωραία Γεωμετρία.
Νομίζω μόνο, πρέπει να συμπληρώσεις το π στη λύση στο δεύτερο ερώτημα στον υπολογισμό του χρόνου.

Καλησπέρα Γρηγόρη.
Σε ευχαριστώ για τον σχολιασμό αλλά και την παρατήρηση για το έλλειμμα του π.
Διόρθωσα…

Διονύση, καλησπέρα (πάλι εδώ).
Πολύ καλή ως μια πρώτη προσέγγιση στην κατανόηση του εξεταζόμενου φαινομένου, αλλά και ως προς τη γεωμετρία της (που τα παιδιά δεν έχουν καλή σχέση, τα Ωνάσεια μας μάραναν).
Μια απλή σκέψη για το σημείο εξόδου και με δεδομένο ότι το κέντρο της κυκλικής τροχιάς βρίσκεται στην αριστερή πλευρά του τετραγώνου, εσωτερικά ή στην προέκτασή της, και ότι η περίοδος δεν εξαρτάται από την ταχύτητα.
Από τη σχέση R=(m/qB)υ=σταθ.υ συνάγεται ότι μεγαλύτερη ταχύτητα συνεπάγεται και μεγαλύτερη ακτίνα που μπορεί να ξεπερνά σε μήκος και την α (μήκος πλευράς του τετραγώνου), δηλ. το κέντρο της τροχιάς να βρίσκεται κάτω από το Δ. Έτσι στις μεγάλες ταχύτητες (όλα τα υπόλοιπα τα ίδια) που αντιστοιχούν σε μεγάλες ακτίνες η έξοδος γίνεται από τη δεξιά πλευρά του τετραγώνου με μικρές εκτροπές (μέχρι 900) και R>α, ενώ στις μικρές ταχύτητες που αντιστοιχούν σε μικρές ακτίνες από την κάτω πλευρά με μεγάλες εκτροπές (πάνω από 900) και R<α. Για μια συγκεκριμένη ταχύτητα η έξοδος γίνεται από την κορυφή Γ με R=α και εκτροπή ακριβώς 900 . Για πολύ μικρές ταχύτητες η εκτροπή μπορεί να γίνει 1800 από την πλευρά εισόδου (με R=<α/2).
Να είσαι καλά

Καλημέρα Ντίνο και καλό μήνα.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την ανάλυση για το πώς το σημείο εξόδου καθορίζεται από την ταχύτητα. Το ζήτημα αυτό προσπάθησα να εξηγήσω στην προηγούμενη ανάρτησή μου ΕΔΩ.
Ένα σχήμα:

https://arxeialykeioy.wordpress.com/wp-content/uploads/2025/02/1.png

Καλημέρα Διονύση.
Όσο εύκολη και αν θεωρούμε την άσκηση,
έχει πλούσια διδακτική αξία για εμπέδωση πραγμάτων,
όπως π.χ μικρότερη η α αλλά μεγαλύτερος ο χρόνος και “μπορεί” να βγεί ίδια η υ, όπως εδώ ,όπου μεθαύριο η λύση ενεργειακά θα δέσει τα “πράγματα”.
Κι ένας διάλογος στο τέλος για την αντοχή της σανίδας σε σχέση με την γωνία θ, έχει πρακτικό ενδιαφέρον αν θέλουμε να κατεβάσουμε κάτι βαρύ μέσω σανίδας αμφιβόλου αντοχής μειώνουμε το ρίσκο θραύσης, με μεγαλύτερη κλίση (π.χ αν συνθ=0,6 Μ<40Κg) 🙂
Να είσαι καλά

καλό μεσημέρι σε όλους
πολύ καλή Διονύση
προσωπικά μου άρεσε ιδιαίτερα η προσθήκη της μάζας (στο υπό έκδοση βιβλίο μου έχω μια σχετική “Σπαζοκεφαλιά” όπου μια πιθηκίνα αφήνει να πέσει από ένα κλωνάρι δέντρου το μωρό της, μετά πέφτει η ίδια ή πέφτει με το μωρό της αγκαλιά, αντίσταση του αέρα αμελείται), αλλά και ο ισχυρισμός του μαθητή, διότι φαίνεται λογικός και διότι δίδασκα τους δικούς μου μαθητές να μαθαίνουν και από τα λάθη τους (κάποιος άλλος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη γιατί είναι μεγαλύτερο το μήκος της διαδρομής και, άρα, και ο χρόνος κίνησης)
σωστός Παντελή για τη γωνία και τον κίνδυνο
(το πιο χωρίς ρίσκο είναι αν θ=90ο, δηλαδή ελεύθερη πτώση, όπερ και κατά κανόνα γίνεται στα γκρεμίσματα παλιών οικοδομών)

Παντελή και Βαγγέλη καλημέρα.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Πολύ σωστά τα λέτε για την μεγαλύτερη κλίση προς αποφυγήν του σπασίματος της σανίδας.
Πράγματι δεν θα έχει κανένα απολύτως πρόβλημα η σανίδα, αν γίνει κατακόρυφη, αλλά τότε… δεν παίζει 🙂

Καλησπέρα Διονύση. Είχαμε την ίδια έμπνευση.
Πολύ διδακτική διερεύνηση των σημείων εξόδου. Στο ερώτημα (ii), επειδή η απάντηση επηρεάζεται από το ειδικό φορτίο, ίσως στην εκφώνηση να αναφέρεται
“τρία φορτισμένα σωματίδια x, y και z, μαζών m1, m2, m3…” ώστε να θεωρείται δεδομένο.
Εναλλακτική λύση στο (iii), φ = 2θ = 90 ως υπό χορδής και εφαπτομένης.

Καλημέρα Ανδρέα και καλή βδομάδα.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την τοποθέτηση.
Όσον αφορά το ειδικό φορτίο, είναι βασικό στοιχείο που καθορίζει το σημείο εξόδου, όπως το έχεις παρουσιάσει όμορφα στην ανάρτησή σου. Αλλά αυτό μας ενδιαφέρει όταν θέλουμε με ίδιες ταχύτητες να συγκρίνουμε ακτίνες ή χρόνους, οπότε η μάζα είναι ένας παράγοντας που δεν μπορεί να αγνοειθεί.
Παραπάνω τα τρία σωματίδια μπαίνουν από διαφορετικά σημεία και η ερώτηση ii) απαντάται για “οποιαδήποτε” μάζα του κάθε σωματιδίου. Με ποιες ταχύτητες θα ρωτήσεις θα βγει από την πλευρά ΑΒ; Μα αυτό δεν μας απασχολεί εδώ.
Αυτό που θέλω να περάσει είναι ότι αν ένα οποιοδήποτε σωματίδιο στο μέσον της ΑΔ, ανάλογα με την ταχύτητά του μπορεί να εξέλθει από το πεδίο από τις τρεις πλευρές…

Διονύση καλημέρα.

Εξήγηση: Εκείνη την εποχή διεθνής γλώσσα επικοινωνίας μεταξύ των διανοουμένων ήταν τα αρχαία ελληνικά και τα λατινικά, διότι οι διανοούμενοι μελετούσαν τα έργα των αρχαίων Ελλήνων και των Λατίνων από το πρωτότυπο. Είναι βέβαια γνωστό ότι τα έργα του Νεύτωνα είναι γραμμένα στα λατινικά.

Καλημέρα Ανδρέα.
Έτσι ακριβώς είναι.
Να σημειώσω μόνο ότι ο Νεύτωνας, εκτός από μαθηματικός φυσικός, αλχημιστή, θεολόγος… είχε ασχοληθεί και μελετήσει και φιλοσοφία, μεταξύ άλλων διαβάζοντας αρχαίους έλληνες φιλοσόφους. Η φράση του:
«Amicus Plato, amicus Aristoteles, magis amica veritas» (Ο Πλάτων είναι φίλος μου, ο Αριστοτέλης είναι φίλος μου, αλλά η μεγαλύτερη φίλη μου είναι η αλήθεια).
δείχνει τα ενδιαφέροντά του…

Η φράση του Νεύτωνα «Amicus Plato, amicus Aristoteles, magis amica veritas» (Ο Πλάτων είναι φίλος μου, ο Αριστοτέλης είναι φίλος μου, αλλά η μεγαλύτερη φίλη μου είναι η αλήθεια.) είναι γραμμένη στην πρώτη σελίδα του σημειωματάριου του Νεύτωνα, από το οποίο προερχονται οι εικόνες που φαίνονται στη παρούσα ανάρτηση!

Καλημέρα Διονύση. Πολύ καλογραμμένες και, πάντα, με μεγάλη διδακτική αξία όλες οι αναρτήσεις σου. Μαθητής που θα μπορούσε να αξιοποιήσει όλες τις αναρτήσεις σου (όλα αυτά τα χρόνια) και αφορούν τα εισαγωγικά της κάθε ενότητας θα κέρδιζε πάρα πολλά καθώς ο τρόπος σου να “χτίζεις” στην “αρχή” είναι φοβερός.

Γεια σου Διονύση. Ωραίες ερωτήσεις.
Σημαντική “λεπτομέρεια” αυτό που αναφέρεις:
“Οι μαγνητικές γραμμές είναι κλειστές, χωρίς αρχή και τέλος. Έτσι ενώ ασχολούμαστε συνήθως με το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του σωληνοειδούς πηνίου, μαγνητικό πεδίο υπάρχει και στον εξωτερικό του χώρο.”
Θεωρώ ότι μόνο στην ιδανική περίπτωση που το σωληνοειδές έχει άπειρο μήκος δεν υπάρχουν δυναμικές γραμμές στο εξωτερικό του σωληνοειδούς. Μπορούμε όμως να τις θεωρήσουμε πάλι κλειστές. Ξεκινούν από το άπειρο και καταλήγουν στο άπειρο.

Σταθερή αξία,
ανεξάρτητη του πληθωρισμού!
Καλό μεσημέρι Διονύση

Καλησπέρα συνάδελφοι.
Δημήτρη, Γρηγόρη και Παντελή, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλησπέρα Διονύση. Ένα μπράβο και από μένα γιατί στοχεύεις στην κατανόηση της βασικής θεωρίας ρεύμα-αιτία μαγνητισμού, μαγνητικό πεδίο, ρεύμα – υπόθεμα, ηλεκτρομαγνητική δύναμη αλληλεπίδρασης. Εκείνο το ασθενές πεδίο εκτός του πηνίου όλοι το ξεχνάνε, όπως και την αντίδραση στο πηνίο.

Αφιερώνεται στο Γιάννη Κυριακόπουλο, αφού η πρόσφατη δική του ανάρτηση, έδωσε την ιδέα για την παρούσα.

Ευχαριστώ Διονύση.
Θα τη δω τώρα.

Πολύ καλή!
Θα δυσκολευόταν ένα παιδί αν την πρωτόβλεπε, όσο και αν βοηθάς με τη σειρά των ερωτημάτων.

Καλησπέρα Διονύση.
Η παραλληλία που είχες σχολιάσει και στου Κυρ ,είναι “ψηλό “εμπόδιο
όμως γιατί ; Κατά τη γνώμη μου … δεν πρέπει στους περί τις θετικές
τουλάχιστον.

Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Παντελή, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Και γω Γιάννη πιστεύω ότι θα ζοριστεί ο μέσος μαθητής.
Παντελή, γιατί; Νομίζω ότι ο μαθητής έχει συγκεκριμένο σχήμα στο μυαλό του για την παράλληλη σύνδεση αντιστάσεων και με βάση αυτό προχωρά…
Μπορεί να μιλάει για ίδια τάση, αλλά δεν ασχολείται να ψάξει δυναμικά και τάσεις…
Με το μάτι…

Kαλημέρα Διονύση.
Έχεις δίκιο για την “οπτική” του θέματος και θυμάμαι που
τους έλεγα πως τα καλώδια (R=0) είναι εύπλαστα στο σχήμα και
να προσέχουν τα ισοδυναμικά σημεία τα οποία ταυτίζονται,
για να κάνουν τα ισοδύναμα
Δυό παραδείγματα
https://i.ibb.co/cXY6KCZ/image.png

Καλημέρα και πάλι Παντελή.
Το “φάρμακο” στο πρόβλημα του τι βλέπουν οι μαθητές, είναι να δουλευτούν με κυκλώματα, με συνδέσεις όπως αυτές που δίνεις!
Βέβαια σε τι βαθμό αυτά θα περάσουν στους μαθητές, μένει να μετρηθεί μέσω ανάλογης αξιολόγησης, στο τέλος της διδασκαλίας…

Καλησπέρα Διονύση. Εξαιρετική. Αν είχα φέτος Β΄ Γενικής, θα την έκανα οπωσδήποτε – με μεγάλη προσπάθεια κόντρα στο ρεύμα. Γίνεται και εργαστηριακή. Τι άλλο να ζητήσει κανείς.

Το σχήμα της εκφώνησης δίνει λανθασμένα την εντύπωση ότι οι ταχύτητες του σωματιδίου στο σημείο Α και στο Δ είναι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο κάτι που δεν ισχύει. Μπορούμε να υπολογίσουμε και την κατακόρυφη απόσταση των δύο θέσεων.

Πάρα πολύ καλή Παύλο! Τα έχει όλα και αξίζει ένας μαθητής να τη δουλέψει. Θα εμβαθύνει

Γεια σου Δημήτρη, χαίρομαι που σου αρέσει, να είσαι καλά.

Καλημέρα Διονύση.
Όμορφα και διδακτικά την έστησες ,όμως θα μου επιτρέψεις να διηγηθώ
μια ιστορία .
Λοιπόν πριν χρόνια πολλά την εποχή της νιότης πήγα
με το σύντεκνό μου ,το συγχωρεμένο, στα μπουζούκια στο Ρέθεμνος
όπου τραγουδούσε ένας φίλος ,”ο Γκρανής” . Όλα ωραία και κεφάτα
ώσπου κάποια στιγμή ο σύντεκνος δεν φαινότανε καλά ,η κεφαλή του έγερνε
Βαγγέλη του λέω τι συμβαίνει
Μπαντελή άμε μέσα να πάρεις τηλέφωνο τη μάνα μου και πέστσι
να με ξεματιάσει, γράψε το τηλέφωνο.
Πάω λοιπόν ψάχνω το τηλέφωνο (κινητή γιοκ τότε) και παίρνω την κυρά Γεωργία
Έλα κυρία Γεωργία ο Βαγγέλης μου είπε να…
Εντάξει Μπαντελή
Διονύση αλήθεια λέω ,σε 5 min περδίκι ο σύντεκνος κι εγώ για πάρτι του, χόρεψα μια ζεμπεκιά.
Τώρα προς τι η ιστορία; Αν ήξερα να ξεματιάζω θα τό ‘κανα για σένα με το συμπάθιο. Κοίταξε τα σύμβολα ρευμάτων και εντάσεων!
Καλή Κυριακή

Καλημέρα και καλή Κυριακή Παντελή και σε ευχαριστώ για την ιστορία και την διόρθωση…
Επειδή η μάνα μου δεν ζει για να την πάρεις τηλέφωνο, μήπως να έπαιρνες τη μάνα του φίλου σου; 🙂
Μάλλον και αυτό δεν θα μπορεί να γίνει…
Αυτό και αν είναι υπεραστικό, αν κρίνω από “την εποχή της νιότης”…

Καλημέρα Διονύση και Παντελή.
Εξαιρετική!

Σε ευχαριστώ και από εδώ Γιάννη, για το σχολιασμό και τον καλό σου λόγο.

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ καλή. Σε ένα νόμο που είναι “κάπως”, αφού περιέχει ολοκλήρωμα με μορφή αλγεβρικού αθροίσματος και πρέπει να το δείξουμε σε μαθητές Υγείας, που κάποιοι αποφάσισαν ότι δε χρειάζονται πολλά Μαθηματικά!
Σε ένα χώρο που υπάρχει μαγνητικό πεδίο μη μηδενικό και δεν περικλείονται ρεύματα στην κλειστή καμπύλη, βρίσκεις δυο διαδρομές, που η κυκλοφορία του πεδίου είναι μηδενική.
Τι καλύτερο παράδειγμα για τη θεωρία, που αναφέρει ότι το Β στο άθροισμα δεν είναι μόνο το εγκλεισμένο στο βρόχο.
Σε ευχαριστούμε.
Καλησπέρα Παντελή. Αν πω στην πεθερά μου τη λέξη πονοκέφαλος, με ξεματιάζει και από – σταθερό – τηλέφωνο. Ακολουθεί άμεση ανακοίνωση των αποτελεσμάτων και εξουδετέρωση της αρνητικής ενέργειας. https://cxcs.microsoft.net/static/public/other-m365/neutral/00463921-933c-4e75-8d6a-120e7aa50564/5c6da8a5e914766206f8f2e478bd91fb63761ebd.gif

Καλημέρα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Χαίρομαι που σου άρεσε.
Είδες και τα θετικά της ύπαρξης …πεθεράς; 🙂

καλημέρα σε όλους
πολύ καλή Διονύση και με σωστή τη σειρά ερωτημάτων
(θα πρόσθετα, πάντως, στη φράση “αφού οι δυο δυνάμεις είναι σταθερές” και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία)

Καλό μεσημέρι Βαγγέλη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Όταν γράφω “σταθερές δυνάμεις” δεν εννοούμε σταθερά μέτρα και σταθερές διευθύνσεις;

Εννοώ, Διονύση, για να αποκλείσουμε την περίπτωση, όπου οι δυνάμεις είναι σταθερές, αλλά (ίσες και) αντίθετες, οπότε η συνισταμένης τους είναι ίση με 0, άρα και η επιτάχυνση, (στο σχήμα αυτό φαίνεται, αλλά σαν γενική πρόταση, που μπορεί να εκληφθεί από έναν μαθητή, ισχύει;)

Βαγγέλη στην εκφώνηση δίνεται ότι το σώμα, το οποίο αρχικά ηρεμεί, τελικά μετατοπίζεται.
Αν οι δύο δυνάμεις ήταν αντίθετες, τότε θα έμενε ακίνητο στην αρχική του θέση!
Θέλω να πω, ότι η μετακίνηση του σώματος αποδεικνύει ότι ασκείται μη μηδενική συνισταμένη δύναμη.

Καλημέρα Διονύση, πολύ ωραία άσκηση!

Καλημέρα Παύλο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και χαίρομαι που την εγκρίνεις…

Καλημέρα Διονύση. Πάρα πολύ καλή ασκηση. Βεβαια το μαθηματικό μερος (Γεωμετρία και τριγωνομετρία) της λύσης αρκετά πιο μεγάλο από το αντίστοιχο Φυσικό αλλά τονίζεται με αυτό τον τρόπο την αναγκαιότητα (σε αρκετές-ή και πολλές- περιτώσεις) της Γεωμετρίας και της τριγωνομετρίας στη Φυσική .

Καλό απόγευμα Γιώργο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Αυτές οι ασκήσεις με τα μαγνητικά πεδία, αυτό το χαρακτηριστικό έχουν. Είναι περισσότερο Γεωμετρία και λιγότερο Φυσική…

Καλησπέρα Διονύση. Από Δευτέρα θα ξεκινήσω Η/Μ. Έφτιαξες μια ιδιαίτερη άσκηση, υψηλού επιπέδου, που χρειάζεται κριτική σκέψη και γνώση των λεπτομερειών του μαγντητικού πεδίου ευθύγραμμου αγωγού. Η γεωμετρία απαραίτητη, όσοι λίγοι πρόσεχαν στην Α΄τάξη, θα έχουν πλεονέκτημα στο κεφάλαιο. Μακάρι να βλέπαμε τέτοιο θέμα σε εξετάσεις αντί για ασκήσεις με νούμερα.

Καλημέρα Διονύση.
Διδακτικό το θέμα ,ιδιαίτερα το καταληκτικό!
(Τη φορά των Β διόρθωσε με τελίτσα)
Δεν πιστεύω να μπέρδεψες τα σύμβολα ,πάντως
μια φορά κι έναν καιρό ρώτησα …ποιό μνημονικό κανόνα να βάλουμε ώστε να μην μπερδεύουμε το μέσα (χ) με ττο έξω (.) ;
Ο Βασίλης από το τέρμα θρανίο… “χέσ.. μέσα δάσκαλε” ! 🙂 🙂
Χιουμορίστας ο Βασιλάκης καλή του ώρα.

Καλημέρα Παντελή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Επί της ουσίας τώρα και χωρίς να ψάχνουμε μνημονικούς κανόνες…. “χ… μέσα” 🙂

Καλημέρα Διονύση. Ενδιαφέρουσα πρόταση, αν και φαίνεται σαν να μπαίνεις από το παράθυρο στα εντός ύλης στο τελευταίο ερώτημα!

Καλημέρα Παντελή. Θα χρησιμοποιηθεί και πιστεύω ότι θα βοηθήσει η πρόταση του Βασίλη στην απομνημόνευση του κανόνα!

Για σας Διονύση και Μίλτο.
Χαίρομαι που του μαθητή η ατάκα έγραψε.
Τα copy paste =αντιγραφή ,κρύβουν κινδύνους !
Διονύση στη λύση παρέμεινε κάπου το …μέσα 🙁 ,αλλά τα ευκόλως εννοούμενα ας μην μας βαάζουν σε… κοπο.)
Να είστε καλά

Kαλημερα Διονύση. Η αποψη μου ειναι οτι δεν θα χρειαστει ποτε σε ασκησεις του επιπεδου της Γ Λυκειου να κανουμε αθροισεις οι οποιες ειναι στην ουσια εκλαικευμενες εκφρασεις ολοκληρωματων, εκτος αν μας δωσουν αγωγους παραβολοειδους σχηματος,πραγμα ολίγον απίθανον βεβαιως βεβαιως..Εδω εχουμε τρια κομματια. Αx’ ,ΑΓ ,Γx. και το αποτελεσμα γραφεται αμεσως συναρτησει γνωστων αποτελεσματων που υπαρχουν στο σχολικο με τις επαρκεις βεβαιως δικαιολογησεις.Μας χρειαζεται ο νομος Biot Savart αλλα για να παρουμε ποιοτικα αποτελεσματα απο αυτον,οχι για να αθροισουμε.Για παραδειγμα στην λυση σου στο ερωτημα ιιι) στο σημειο οπου με χρηση του Biot Savart αποδεικνυεις οτι dΒ1=dΒ2 εκει η ασκηση εχει τελειωσει. Αφου καθε στοιχειωδες αριστερο συνεισφερει οσο και το συμμετρικο του,τοτε ολοκληρο το αριστερο μισο συνεισφερει οσο και ολοκληρο το δεξι μισο αρα το συμπερασμα ειναι προφανες.Δεν καταλαβαινω ο υπολογισμος που κανεις στην συνεχεια γιατι ειναι απαραιτητος.

Γεια σου Κωνσταντίνε.
Καλή χρονιά με Υγεία.
Ομολογώ πως το από μπροστά και το από πίσω με μπερδεύουν (προσωπικό το πρόβλημα βέβαια).

Μίλτο και Κωνσταντίνε καλό μεσημέρι και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γράφεις Κωνσταντίνε:
“Για παραδειγμα στην λυση σου στο ερωτημα ιιι) στο σημειο οπου με χρηση του Biot Savart αποδεικνυεις οτι dΒ1=dΒ2 εκει η ασκηση εχει τελειωσει. Αφου καθε στοιχειωδες αριστερο συνεισφερει οσο και το συμμετρικο του,τοτε ολοκληρο το αριστερο μισο συνεισφερει οσο και ολοκληρο το δεξι μισο αρα το συμπερασμα ειναι προφανες.Δεν καταλαβαινω ο υπολογισμος που κανεις στην συνεχεια γιατι ειναι απαραιτητος.”
Τι έχω γράψει παρακάτω;
https://arxeialykeioy.wordpress.com/wp-content/uploads/2025/01/4551-1.png
Για να καταλήξω στο συμπέρασμα:
“Η τελευταία εξίσωση μας λέει ότι το τμήμα Μx δημιουργεί στο σημείο Κ μαγνητικό πεδίο με ένταση ίση με το μισό της έντασης ενός ευθύγραμμου αγωγού απείρου μήκους.”
Μήπως λέμε το ίδιο; Απλά εσύ το λες με λόγια, εγώ προτίμησα να δώσω τα αθροίσματα που υπολογίζουν το Β εξαιτίας του μισού μήκους του αγωγού.

Παντελη εξαρταται απο το προς τα που ξαμώνει το βελακι. 🙂

Μαθητική ερώτηση: Αφού ο αγωγός Γx είναι επίσης άπειρου μήκους, όπως ο x’x, γιατί το μαγνητικό πεδίου του ενός είναι διαφορετικό από του άλλου;

Απλή απαντηση, στην προεκταση του αγωγου δεν υπαρχει μαγνητικο πεδιο, φαινεται και πειραματικα απο το φασμα των δυναμικων γραμμων.
(Εξαλλου, αν δεν κανω λαθος, οι Biot και Savart πειραματικα κατεληξαν σε συμπερασμα που διατυπωσε μαθηματικα ο Ampere )

Κατά την διδασκαλία του μαγνητικού πεδίου ενός ευθύγραμμου αγωγού, ο διδάσκων πρέπει να αναλύσει για ποιο πεδίο, ποιου αγωγού και σε ποια σημεία του χώρου αναφερόμαστε. Διδάσκω το μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμο αγωγού, δεν σημαίνει γράφω μια εξίσωση και σχεδιάζω και μια κυκλική δυναμική γραμμή.
Εξηγεί τι σημαίνει αγωγός απείρου μήκους. Ένα αγωγός 1m είναι απείρου μήκους;
https://i.ibb.co/7Kt58VQ/5553.png
Ναι, αν αναφερόμαστε για το μαγνητικό πεδίο σε ένα σημείο Α, όπως στο σχήμα, το οποίο απέχει απόσταση μικρότερη από 0,1m από τον αγωγό και βρίσκεται κάπου στο μέσον του αγωγού.
Η εξίσωση που διδάσκουμε δεν ισχύει ούτε για το σημείο Γ του σχήματος, ούτε για το Δ, ούτε για το Ε.
Αν αυτά έχουν αναλυθεί κατά την παράδοση, δεν θα έχει αντίστοιχη απορία ο μαθητής.

Διονύση καλησπέρα και σε ευχαριστώ για την απάντηση.

Αναλυτικότερα η απορία του ενήμερου μαθητή θα ήταν: Χρησιμοποιούμε τον τύπο του μαγνητικού πεδίου που ισχύει, όπως σωστά αναφέρεις, μόνο όταν το Κ βρίσκεται σε μικρή απόσταση από έναν αγωγό και περίπου στο μέσο του αγωγού, για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο όταν το Κ βρίσκεται στο άκρο του αγωγού;

Καλησπέρα Ανδρέα.
Ναι, αυτό έκανα παραπάνω.
Αν το μαγνητικό πεδίο στο σημείο έχει ένταση 2Τ, τότε το 1Τ οφείλεται στο τμήμα του αγωγού που είναι (στο σχήμα) κάτω από το Α και το άλλο 1Τ, στο τμήμα που είναι από πάνω. Με άλλα λόγια ένας αγωγός με άκρο το κοντινότερο σημείο στο Α και πολύ μεγάλου μήκους, δημιουργεί στο Α μαγνητικό πεδίο έντασης ίση με 1Τ.
Και αν ο μαθητής επιμένει, θα του θυμίσω το σωληνοειδές. Εκεί γνωρίζει ότι η ένταση στο άκρο του σωληνοειδούς είναι το μισό της έντασης στο μέσον του;
Αυτό από πού προκύπτει; Έχει κάποια ερμηνεία;
Αν έχει, τότε η ίδια ερμηνεία υπάρχει και στον ευθύγραμμο αγωγό, για ένα σημείο στο άκρο του.
Αλλά επειδή μπορεί να είναι πολύ επίμονος για το πώς μπορούμε να έχουμε ένα σημείο στο άκρο ενός αγωγού με άπειρο μήκος, θα του σχεδίαζα το σχήμα.
https://arxeialykeioy.wordpress.com/wp-content/uploads/2025/01/644.png
και θα τον καλούσα να συγκρίνει την ένταση των δύο μαγνητικών πεδίων, στα σημεία Α και Γ.

Γεια σου Παντελη. Εγω παντως προτεινω αυτον τον μνημημονικο κανονα.Οταν υα κοιτας απο μπροστα βλεπεις τελεία. Οταν τα κοιτας απο πισω βλεπεις Χ

https://i.ibb.co/MVZ95Lk/88-1.jpg

Ουσιαστική ανάρτηση Διονύση, όπου συνδυάζει τρία σε ένα

Τα ερωτήματα (i) και (ii) απαραίτητα. Το (iii) προαιρετικό κατά τη γνώμη μου…

Εκτιμώ πως τεκμηριώνεις με απόλυτη ακρίβεια στην παρούσα ανάρτηση
την απάντηση, στο ερώτημα του “ενήμερου μαθητή” του Ανδρέα.

Μεταφέρω από παλαιότερη δική σου ανάρτηση, μια ανάλογη τεκμηρίωση

https://i.ibb.co/jZWwxRn/Biot-Savart-2.png

Επειδή ίσως τα μαθηματικά στο προηγούμενο μπορεί να φανούν “βαριά” για ορισμένους μαθητές, μεταφέρω πάλι από δική σου παλαιότερη ανάρτηση μια
πιο light εξήγηση

https://i.ibb.co/BKNsp4F/Biot-Savart-1.png

Προσωπικά χρησιμοποιώ τη δεύτερη και ευκολότερη αιτιολόγηση…

Θεωρώ όμως, πως αν και διδακτικά η αξία είναι σημαντική, εξεταστικά πρέπει
να αποφεύγουμε τέτοια ερωτήματα

Γεια σου Παντελή, καλή χρονιά

Προσοχή στις ατάκες του Βασιλάκη, μην γίνει αναγραμματισμός στα φωνήεντα του ρήματος και κρυφτεί το πρώτο φωνήεν αντί για το δεύτερο….

Γεια σου Κωνσταντίνε, καλή χρονιά

Ο τρόπος διδασκαλίας μέσω του αθροίσματος έχει τη διδακτική του αξία.
Αποτελεί αναγκαία συνθήκη για πιο σύνθετες ασκήσεις όπως η επόμενη
https://i.ibb.co/FKcbpJv/Biot-Savart-3.png

για τυχαίες γωνίες φ και 2π-φ

Μία ερώτηση προς κάθε συνάδελφο

Η άσκηση της πιο πάνω εικόνας, γνωστή και μη εξαιρετέα (το σχήμα από ανάρτηση
του Διονύση, πριν ακόμα εισαχθεί στην ύλη ο νόμος των Biot-Savart)

έχει βαθμό δυσκολίας κατάλληλο για:

(ι) διδασκαλία στην τάξη ως εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών και από κυκλώματα συνεχούς ρεύματος

(ιι) διαγώνισμα προσομοίωσης

(ιιι) πανελλαδικές εξετάσεις

(ιv) για διαγωνισμό φυσικής μεταξύ επιλεγμένων μαθητών

Το ερώτημα είναι πραγματικό: Είχε τεθεί από μαθητή σε παρουσίαση από το γράφοντα παρόμοιου επιχειρήματος για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου στα άκρα σωληνοειδούς (δείτε εδώ: Το μαγνητικό πεδίο στα άκρα σωληνοειδούς. – Υλικό Φυσικής – Χημείας): Όταν κόψουμε έναν σωληνοειδές άπειρου μήκους δεν προκύπτει σωληνοειδές άπειρου μήκους; Γιατί το πεδίο υποδιπλασιάζεται; Έχει νόημα να λέμε ότι το μισό του απείρου είναι ένα μισό άπειρο; (!) Νομίζω ότι τα ερωτήματα αυτά απαντώνται μόνο όταν διερευνήσουμε μαθηματικά τις έννοιες άπειρο και όριο ολοκληρώματος στο άπειρο.

Καλημέρα Θοδωρή και καλό ΣΚ.
Σε ευχαριστώ για την επαναφορά στην επιφάνεια, παλιότερων ανάλογων αναρτήσεων, όπου οι αντίστοιχες αποδείξεις έχουν ελαφρώς διαφορετικές εκδοχές.
Και ο καθένας ας επιλέξει, όποια θεωρεί βολικότερη για την επίτευξη των διδακτικών στόχων που θέτει.

Διονύση καλημέρα.

Ο μαθητής αναρωτήθηκε αν το μισό του απείρου είναι το μισό άπειρο ώστε το μαγνητικό πεδίο να υποδιπλασιάζεται!

Ανδρέα, αν ο μαθητής δεν μπορεί να σκεφτεί πού οφείλεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου στα σημεία Γ και Δ του προηγούμενου σχολίου μου, δεν το συνδέει με το νόμο των Bio Savart, αλλά συνεχίζει να παίζει με το άπειρο και το μισό του 🙂 , δεν έχω κάτι άλλο να του πω, τα επιχειρήματα μου τέλειωσαν…
Πάμε παρακάτω, με “όστις θέλει πίσω μου ελθείν..”

Συμφωνώ: Θα πρέπει να όσο το δυνατό περισσότερο να αποφεύγουμε τη χρήση του όρου “αγωγός άπειρου μήκους” και να αναφερόμαστε σε “μικρές αποστάσεις συγκριτικά με το μήκος του αγωγού.”

Καλησπέρα Διονύση.Έχοντας αποσαφηνίσει πλήρως ποιοτικά αλλά και ποσοτικά τη μαθητική απορία,μία όμοια(περισσότερο αλγεβρική άρα λιγότερο ελκυστική) προσέγγιση.
Η Β’ για σημεία που απέχουν απόσταση α από τον ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό απείρου μήκους όταν αυτά τείνουν στο + ή στο- άπειρο είναι μισή από αυτή σε ενδιάμεσα σημεία.Αποδειξη:
Αθροίζοντας τα στοιχειώδη dB από το -απειρο έως το +άπειρο προκύπτει η(εκτός ύλης σχέση):Β=μi/4πα(συνθ1-συνθ2).Όταν το σημείο τείνει π.χ στο +άπειρο τότε θ1τεινει στο 0 ενώ θ2 τείνει στο π/2.Αρα Β’=Β/2.Τοτε και η Β’ στο άκρο Ο της ημιευθείας Οx θα είναι Β’=Β/2

Καλημέρα Θύμιο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Η απόδειξη που προτείνεις είναι πραγματικά η σωστή και πέρα από κάποια αμφισβήτηση, αποδεικτική πορεία.
Αλλά δυστυχώς οι υπεύθυνοι, “πρόλαβαν” να αφαιρέσουν από την ύλη την εξίσωση
https://arxeialykeioy.wordpress.com/wp-content/uploads/2025/01/433.png

Γεια σου Θοδωρη και καλη χρονιά.Δεν ξερω τι ζηταει η ασκηση της οποιας το σχημα βλεπω,αλλα αποκλειεται να χρειαζεται αθροισματα.Εχουμε το ενα τεταρτο ενος κυκλου και τα τρια τεταρτα ενος κυκλου οποτε οτι και να ζηταει θελει απλη αριθμητικη.
Δεν ξερω γιατι οι εκφρασεις των αθροισματων θεωρουνται ελκυστικες απο καποιους,αλλα οταν τα ιδια συμπερασματα μπορουν να προκυψουν με απλη λογικη,κατα την γνωμη μου πρεπει να αποφευγονται. Δεν προσφερουν τιποτα ουτε σε αυτηροτητα,ουτε σε βαθυτερη κατανοηση,ουτε προκειται να τα χρειαστει κανεις στις Πανελληνιες.