Νεκτάριος Πρωτοπαπάς

Ξεκινάμε και φέτος την Ορμή…

Γεια σου και από εδώ Ανδρέα. Όμορφη άσκηση που τα συμπεράσματα του β ιδίως ερωτήματος θα προκαλέσουν έκπληξη.

Γεια σου Ανδρέα. Όμορφο θέμα!
Να θυμηθούμε και την Ισόχρονη χορδή.

Πρόσεξε λίγο την απάντησή σου στο ερώτημα (β). Υπάρχει ένα επιπλέον 2 στον αριθμητή της υπόριζης, το οποίο τελικά βγαίνει εκτός ρίζας.

Έκανα μόλις μικρή συμπλήρωση.

Από τον Διονύση το 2010:

Καλημέρα Γιώργο.
Ωραίο!

Καλησπέρα.
Γιάννη πήγα να παίξω και κατέληξα σε παράδοξο.
Στην οριζόντια βολή.
Στροφορμή ως προς την αρχή των αξόνων
Lo =mVoψ
Μετά είδα ότι εκεί καταλήγεις και εσύ

https://i.ibb.co/vChpn6D1/kyrstr.jpg

Καλημέρα και καλή Κυριακή.
Μια ακόμη άσκηση στην στροφορμή υλικού σημείου με αλλαγή στην ακτίνα της τροχιάς. Άσκηση που είχα προαναγγείλλει εδώ.
Ελπίζω να μην έχουν φύγει τα σχολεία από το κεφάλαιο…

Καλημέρα Διονύση, πολύ ζόρικη και ακόμα πιο πολύ διδακτική.

Κατάφερες να συνδυάσεις τη στροφορμή υλικού σημείου σε αρχικά κυκλική , κατόπιν σπειροειδή και τελικά πάλι κυκλική τροχιά) με την κινηματική στερεού…..
Respect

Μήπως ο κύλινδρος να αναφερόταν ως δίσκος, αφού αν καταλαβαίνω σωστά από μία πρώτη βιαστική ανάγνωση, είναι “ξαπλωμένος” στο οριζόντιο δάπεδο ή μήπως
βρίσκεται έξω από το δάπεδο και είναι κατακόρυφος, στρεφόμενος γύρω από οριζόντιο άξονα, κάτι σαν βαρούλκο;;;

Εγώ μέχρι και την Πέμπτη θα είμαι στερεό.

Καλημέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ο κύλινδρος είναι αυτός που δείχνει το σχήμα σε κάτοψη!
Με κατακόρυφο άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται.
Θα μου πεις με πόσο ύψος; Ωραία μπορεί να έχει ύψος 10cm, οπότε γίνεται και δίσκος!!!

Καλημέρα παιδιά. Εξαιρετικό θέμα Διονύση!

Καλημέρα παιδιά.
Εξαιρετική και πολύ πρωτότυπη!

Καλή Κυριακή. Όμορφη και πρωτότυπη άσκηση Διονύση που θίγει πολλά.

Καλημέρα Διονύση και καλή Κυριακή.
Εξαιρετική. Πρώτα από όλα για εμάς και δευτερευόντως για τους μαθητές.

Καλημέρα Διονύση. Εξαιρετική! Και επειδή μου άρεσε είπα να περιγράψω την κίνηση και να προσθέσω κάτα ακομα:https://i.ibb.co/BHHcD0d6/SCAN-okt80.png

Καλησπέρα συνάδελφοι.
Αποστόλη, Γιάννη, Παύλο, Χρήστο και Γιώργο, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γιώργο το τρίγωνο σκόπιμα, δεν το σχεδίασα ισοσκελές…

Καλησπέρα Διονύση.Φανηκε ότι είχες λόγο που δεν το εδωσες ισοσκελές.
Παρ’ ολα αυτά , είπα να το πάρω ισοσκελές μπας και βγάλω κανένα ¨λαγό”.
Αλλα όπως φαίνεται από τα παραπάνω δεν βγαίνει κατι καλό και σε δικαίωσαν που δεν το έδωσες ισόπλευρο.

Φοβερή Διονύση. Συγχαρητήρια!

Καλημέρα Διονύση. Πολύ καλή. Το θέμα το έχεις πλέον διερευνήσει από πολλές πλευρές, με ή χωρίς τρύπα.

Καλό μεσημέρι Δημήτρη και Ανδρέα.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλησπέρα Γιάννη.
Δύο σημεία.
1) Έχουμε στροφορμή (και ΑΔΣ) ως προς σημείο και απλά μερικές φορές μας συμφέρει να πάρουμε και να δουλέψουμε με την προβολή της πάνω σε κάποιον άξονα.
2) Όταν έχουμε νήμα, είναι γνωστή η τάση του νήματος και η μηδενική της ροπή ως προς το σημείο πρόσδεσης. Όταν έχουμε το σύρμα, πώς ξέρουμε ότι η δύναμη απο το σύρμα δεν έχει ροπή;

Καλησπέρα Διονύση.
Ξέρουμε ότι η δύναμη από το σύρμα έχει ροπή, διαφορετικά θα είχαμε διατήρηση στροφορμής ως προς τον εν λόγω άξονα.
Γιατί όμως έχει;
Από που περνάει η δύναμη από το σύρμα;

Καλησπλερα Γιάννη. Πρεπει η δυναμη απο το δακτύλιο να είναι κάθετη σε αυτόν. Και απο τις άπειρες διευθύνσεις πρεπει να είναι κατακόρυφη λόγω του βαρους της χάντρας. Αρα υπαρχει συνιστωσα που επιταχύνει την χαντρα ,όταν βρισκεται πάνω και συνιστώσα που επιβραδύνει όταν βρίσκεται η χάντρα στο κάτω μέρος

Γιώργο σωστά αλλά γιατί δεν διατηρείται η στροφορμή;
Από που περνάει η δύναμη αυτή;
Κάνω ήδη σχήμα….

Καλησπέρα.
Η χάντρα καθώς περιστρεφεται έχει γραμμική επιτάχυνση. Δηλ θα πρέπει να δεχεται δύναμη Ν από στεφάνη που να έχει συνιστώσα πάνω στο επιπεδο της στην διεύθυνση της ταχύτητας. Η ροπή αυτης της συνιστωσας ως προς κατακορυφο άξονα δεν είναι 0

Μου θυμίζει το θεωρημα των τριών καθέτων.Αν είναι κατακόρυφη , η μια συνιστώσα είναι ακτινική και η αλλη προς τον άξονα που διερχεται από το κεντρο και καθετος στο επίπεδο του κύκλου (η οποία δινει την επιτρόχια συνιστώσα)

Πιθανολογώ ότι αυτό έχει να κάνει με τον προσανατολισμό της χάντρας καθώς περιστρεφεται

Η δύναμη από το σύρμα είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς. Αυτη αναλύεται σε μια κατακόρυφη συνιστώσα παράλληλη στον άξονα και μια ορίζοντα. Η οριζόντια προφανώς έχει ροπή…
πρσοχη στο σχήμα! Οχι στην ανώτερη και κατώτερη θέση!!! Εκεί δεν έχει ροπή.
ειμαι εκτός και δεν μπορώ να σχεδιάσω…

Στην τελευταία απαρεμβασή μου αυτο το σχήμα προσπάθησα να περιγραψω.
Ετσι όπως το έγραψα ή κατακόρυφη δεν μπορει να αναλυθει σε ακτινική και την αλλη προς τον άξονα που διερχεται από το κεντρο και καθετος στο επίπεδο του κυκλου . Αντιθετα αυτή που είναι προς τον άξονα που διερχεται από το κεντρο και καθετος στο επίπεδο του κυκλου αναλύεται στις άλλες δυο.

Συμφωνώ με τις παρατηρήσεις σας.
Μου έρχεται πιο εύκολο να μιλήσω (επικαλούμενος το 3ο σχήμα) για ροπή που προκαλεί αύξηση της στροφορμής ως προς τον z άξονα μια και η ροπή (ως προς τον εν λόγω άξονα) είναι θετική.

Καλησπέρα, ενδιαφέρον θέμα!
Κάποια επιπλέον στοιχεία:
https://i.ibb.co/nNJLGk8c/image.jpg

Γεια σου Χρήστο.
Χαίρομαι για την επάνοδό σου.
Να υποθέσω ότι επικαλείσαι διατήρηση ενέργειας.

Να’σαι καλά Γιάννη!
Λύνουμε τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα. Παίρνουμε τη δύναμη Ν
κάθετη στην ταχύτητα υ και καταλήγουμε στα παραπάνω.
Αν εργαστούμε με ΑΔΜΕ, καταλήγουμε στα ίδια.

Ωραίος Παναγιώτη. Αιθανικός προπυλεστέρας, αιθανικός ισοπροπυλεστέρας, προπανικός αιθυλεστέρας, pH=9. Σωστός;

Δίνεις και πολλές Ka για ξεκάρφωμα ε;

Καλησπέρα Θοδωρή , άψογος και σωστός ως συνήθως ! Πώς σου φάνηκε το στήσιμο ; Μου βγήκε λίγο η πίστη για να βγει το pH υπολογίσιμο – έπρεπε να δώσω πολλές Ka αλλιώς θα υπήρχε ‘πρώιμη αποκάλυψη’ του εστέρα – καλό βράδυ και καλό Σαββατοκύριακο!

Γεια σου Παναγιώτη. Η άσκηση “ρέει¨πολύ όμορφα κατά την επίλυσή της. Θέλει ισομέρεια εστέρων με 5 άτομα C που είναι απαιτητικούλα. Αποκλείεις όλους του μεθανικούς και τους μεθυλο εστέρες λόγω μη έκλυσης CO2. Το pH με αμοιβαία ΕΚΙ στα ανιόντα των αλάτων της σαπωνοποίησης. Είναι ωραία. Για το pH θα μπορούσες να ζητήσεις συγκέντρωση οξωνίων για να μην παιδεύεσαι με τα νούμερα, αν εννοείς αυτό.

Αυτό που δίνεις τις τιμές Κα πέντε οξέων είναι πολύ έξυπνο. Κάτι που με προβλημάτισε είναι ότι αν δοθεί σε μαθητές, επειδή γενικά έχουν μάθει να χρησιμοποιούν στους υπολογισμούς όλα τα δεδομένα, μπορεί να σκεφτούν ότι πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμοποιήσουν τις Κα όλων των οξέων που δίνονται. Αυτό ίσως μπερδέψει κάποιους… Κι αυτό μέσα στο παιχνίδι είναι όμως, έτσι δεν είναι;

Καλησπερα Θοδωρη, σ’ ευχαρστω για τον χρονο σου, συμφωνω με ολα οσα λες , καλο ΣΚ

Παναγιώτη καλησπέρα. Εξαιρετική ιδέα του υπερμαγγανικού. Πολύ όμορφη άσκηση. Να κάνω μόνο μία παρατήρηση. Σύμφωνα με το πρόγραμμα σπουδών, οι μαθητές πρέπει να βρίσκουν τα ισομερή ενώσεων με έως και 4 άτομα C. Με αυτό και μόνο η άσκηση βγαίνει εκτός.
Ωστόσο, με 4 άτομα, παραμένει εξ ίσου καλή και μάλιστα, επειδή δεν θα έχεις επίδραση κοινού ιόντος, μπορείς να δίνεις το pH του διαλύματος και να ζητάς την ka, ώστε να μην “προδοθεί” το οξύ.
Προφανώς άποψη και πρόταση είναι αυτό. Δεν αλλάζει σε τίποτε την αξία της άσκησης όπως δίνεται.

Καλησπέρα Δημήτρη και σε ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σου – όντως δημιουργείται μια γκρίζα ζώνη λόγω των 5 ανθράκων – μια μικρή υπεράσπιση χωρίς να σημαίνει απαραίτητα κάτι αυτό , είναι ότι δεν ζητάει τυπική συνολική ισομερεια μεταξύ οξέων εστέρων , τα οξέα βγαίνουν εκτός και από τους εστερες οι μεθανικοι και οι μεθυλεστερες αυτόματα αποκλείονται – ωστόσο κατανοητό το σχολιο σου

Καλησπέρα. Καταρχάς αυτό που λες Δημητρη δεν είναι ακριβώς πρόγραμμα σπουδών, είναι οδηγίες διδασκαλίας με βάση την ύλη. Στις φετινές όμως οδηγίες διδασκαλίας της Β λυκείου έχει αλλάξει αυτό. Αναφέρει εύρεση ισομερών μέχρι 5 άτομα C.

Θοδωρή σ’ ευχαριστώ για την διευκρίνιση

Θοδωρή καλημέρα. Σ’ ευχαριστώ κι εγώ για τη διευκρίνιση. Δεν το γνώριζα καθώς είμαι εκτός σχολείου. Προφανώς άκυρη η “ένσταση”.

Μεταφέρω

https://i.ibb.co/r2P8g6n6/2025-11-02-211048-1762110702-1884.png

Γεια σου Αποστόλη, όμορφη άσκηση που θα κινήσει το ενδιαφέρον των μαθητών.

Όμορφη Αποστόλη.
Πριν 50 χρόνια ένας φίλος περιέγραφε εμπειρία του σε λούνα παρκ (στη Βιέννη αν θυμάμαι καλά) όπου άνοιξε ο πάτος του στρεφόμενου βαρελιού και οι επιβάτες τρομοκρατήθηκαν μεν, επεβίωσαν δε.
Χρόνια μετά…..
https://i.ibb.co/bR5xBFq0/66.png

Καλησπέρα Αποστόλη. Κλασική και όμορφη. Μας θύμισες τον “Γύρο του θανάτου”
Τα παιδιά, απο ότι έχω δει στο σχολείο , δεν ξερουν για τον “Γύρο του θανάτου” !

Γεια σας παιδιά και σας ευχαριστώ. Γιάννη ο φίλος σου μάλλον είχε μπει σε ένα Rotor.

https://i.ibb.co/dwrq6MHJ/Screenshot-2025-10-31-145420.png

Διαβάζουμε στη Wikipedia ότι επινοήθηκε από τον Γερμανό μηχανικό Ernst Hoffmeister το 1948 και εγκαινιάστηκε στο Oktoberfest του Μονάχου το 1949. Υποθέτω ότι μετά από κάποιες μπύρες οι αναβάτες θα ήταν πιο εύκολο να μπουν στο βαρέλι :-). Ήταν δημοφιλές από τη δεκαετία του 1950 εώς και τα τέλη του 1970, οπότε και άρχισε να παρακμάζει. Σήμερα υπάρχουν κάποια Rotor ακόμη και ο διάδοχός τους θεωρείται το Gravitron. Κάποιες ρετρό φωτογραφίες και η ιστορία του Rotor εδώ.

Καλησπέρα Αποστόλη.
Ώρα να μάθουμε και το Rotor, ξεχωρίζοντάς το από το γύρω του θανάτου (καλησπέρα Γιώργο).
Και γω είχα μπει σε γύρω του θανάτου παιδί, όπου δύο μοτοσυκλετιστές άρχισαν να κινούνται στην κατακόρυφη πλευρά του “βαρελιού”, αλλά εμείς είμαστε ακίνητοι.
Καλύτερο από το να είμαστε σε περιστρεφόμενο βάρελι!!!

Γεια σου Διονύση. Πριν λίγα χρόνια βρέθηκα σε τσίρκο, όπου υπήρχε παραλλαγή του γύρου: Μέσα σε σφαίρα κινούνταν τρία μηχανάκια σε διάφορα επίπεδα με εντυπωσιακό συγχρονισμό, σχεδόν σαν χορογραφία.

Και εγω σαν πιτσιρικας ειχα παρακολουθησει το γυρο του θανατου απο τον πανω εξωστη του”βαρελιου”. Να ένα εντυπωσιακό βιντεο για τον γύρο του θανατου:

Καλημέρα σε όλους.  
Κλασσικό γύρο του θανάτου με μηχανή έχω παρακολουθήσει αρκετές φορές την δεκαετία του ’60 . Μια δυο φορές έτρεχαν αυτοκίνητο και μηχανή. Η αλήθεια είναι ότι τις στιγμές που το αυτοκίνητο πλησίαζε το πάνω άκρο του βαρελιού όπου στεκόμασταν κάναμε λίγο πίσω….just in case που λέμε. Το άλλο δεδομένο ήταν ότι τα κορίτσια και βέβαια οι  μεγαλύτερης ηλικίας γυναίκες σπάνια τολμούσαν μα το δουν.

Καλησπέρα Αποστόλη. Πολύ καλή. Έχω κολλήσει χρόνια στο Γύρο του Θανάτου και δεν ήξερα το Gravitron. Δε θα το τολμούσα ποτέ, αφού ζαλίζομαι πριν μπω στο καράβι…
Το βίντεο που ανέβασες έχει την φυγόκεντρο, άρα εκτός ύλης…
Να ένα Centripetal Force in the Gravitron Ride, εντός ύλης και με αφαιρούμενο πάτωμα 🙂

Καλημέρα. Διονύση πολύ ωραίες ερωτήσεις!

Καλημέρα Διονύση. Εξαιρετική για Α’ Λυκείου.

Καλό απόγευμα Παύλο και Γιώργο.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

το sqr[(-1) * (-1)] = sqr(-1)*sqr(-1) δεν ισχύει.
sqr(αβ)= sqrα*sqrβ ισχύει μονο για α>0 και β>0

Αυτό δίνει και η σελίδα:
Can you find the mistake?

Αυτο θυμαμαι απο τις ιδιότητες των ριζών
Σελιδα 71 αλγεβρα σχολικού Α λυκείου

Καλημέρα Γιάννη. Νομίζω πως όχι, αφού το έργο και των δύο δυνάμεων μέχρι την ανώτατη θέση είναι μηδενικό.

Καλημέρα Αποστόλη.
Φυσικά δεν μπορούμε.
Όπως το λες. Ακινητοποιείται πριν την κατακόρυφη θέση.
Διαφορετικά λίγο:
Αν έφτανε με κάποια ταχύτητα στην κατακόρυφη θέση, τότε το έργο των δύο δυνάμεων θα ήταν θετικό.
Όμως της F το έργο είναι μηδέν (μέχρι την κατακόρυφη θέση) και το έργο του βάρους αρνητικό.

Έγραψα λάθος βέβαια. Το συνολικό έργο των δυναμων είναι αρνητικό…

Δεν έγραψες λάθος.
Μηδέν είναι μέχρι τη θέση ακινητοποίησης.
Μια θέση που είναι αισθητά πριν την κατακόρυφη.

Καλημέρα Γιάννη. “Λογικά” όχι.
Το έργο της δύναμης μεχρι το ανώτερο σημείο είναι μηδέν .Έργο βάρους αρνητικό ,έργο τάσης ,μηδεν ,αρχική κινητική ενέργεια μηδέν. Αρα κινητική ενέργεια αρνητική στο ανώτερο σημειο, πράγμα αδύνατον οποία τιμή και αν έχει η δυναμη

Καλημέρα Γιώργο.
Ακριβώς.

καλησπέρα Γιάννη
νομίζω ακινητοποιείται στην οριζόντια θέση, όπου τα έργα των δυνάμεων είναι ίσα και αντίθετα, άρα το συνολικό είναι μηδέν

Βαγγέλη ακινητοποιείται στιγμιαία σε κάποια θέση η οποία καθορίζεται από τον λόγο F/w.
Με πολύ μεγάλες F πλησιάζουμε την κατακόρυφη θέση, χωρίς να την ξεπεράσουμε.

Καλημέρα Γιώργο,
Πλήρης απάντηση.

Καλημέρα

https://i.ibb.co/Mkj70L78/anak.jpg

Βαγγέλη καλησπέρα,
πολύ ωραία τα θέματα που προτείνεις αν και νομίζω πως ο κατάλληλος τίτλος θα ήταν Στοιχεία Κινηματικής Α’ Λυκείου (αφού πλέον διδάσκονται μόνο σε αυτή την τάξη, όχι στην Β’ Γυμνασίου) για να μην μπερδεύονται οι μαθητές.

ευχαριστώ Χρήστο, δεν το ήξερα

Αφιερωμένη στο Χρήστο Αγριόδημα, για την πρόβλεψή του!

Καλημέρα Διονύση. Πολύ καλή η παραλλαγή στις τελευταίες αναρτήσεις στο θέμα. Ειδικά το ερώτημα iii. Αν γίνει σε οριζόντιο επίπεδο έχουμε και διατήρηση στροφορμής, μετά το καρφί, οπότε βγαίνει και άλλη παραλλαγή.
Έχω κενό και μόλις διόρθωσα γραπτό μαθητή στην ομαλή κυκλική. Πήρε το π για άγνωστο και το υπολόγισε, βρίσκοντας π = 1! Θα του αφαιρέσω 3,14 από τη βαθμολογία, μήπως και το μάθει…

Καλό απόγευμα Ανδρέα.
Δηλαδή το π δεν μπορεί να πάρει την τιμή 1, παρά μόνο το x μπορεί να παίρνει διάφορες τιμές στις εξισώσεις;
Το διεύρυνε το παιδί 🙂

Διονύση καλησπέρα.
Σε ευχαριστώ για ρην αφιέρωση.
Πολύ καλή η συνέχεια της πρώτης. Είμαι υπερ γενικά να περνάς κάτι μέσω μιας εφαρμογής – άσκησης. Νομιζω περνά και πιο εύκολα στους μαθητές.

Καλημέρα Χρήστο.
“Είμαι υπέρ γενικά να περνάς κάτι μέσω μιας εφαρμογής – άσκησης. Νομίζω περνά και πιο εύκολα στους μαθητές.”
Συμφωνώ απολύτως!

Χρόνια Πολλά για τη σημερινή επέτειο. Η ανάρτηση αφιερώνεται στο Διονύση και το Γιάννη, που μας έχουν βοηθήσει πολλές φορές στο θέμα.
Έμπνευση από τις
Είναι η επιτάχυνση κεντρομόλος;
Μια διατήρηση στροφορμής

Ευχαριστώ Ανδρέα.

Σε ευχαριστώ και γω Ανδρέα για την αφιέρωση.
Άλλη μια όμορφη άσκηση με ΑΔΣ και μείωση ακτίνας!

Γεια σου Ανδρέα και Χρόνια Πολλά σε όλους!
Ευχαριστούμε για το συμμάζεμα σε ένα ιδιαίτερο και σίγουρα ενδιαφέρον θέμα!
Θα συμφωνήσω με τον Διονύση εδώ, “…ας μην πετάξουμε την άσκηση στα αζήτητα…“

Χρόνια πολλά. Ανδρέα, πολύ όμορφη ανάρτηση.

Καλησπέρα συνάδελφοι, Μίλτο, Παύλο, σας ευχαριστώ. Έκανα μια γενική περίπτωση και όποιος θέλει μπορεί να αλλάζει βάζοντας ή όχι ακτινική επιτάχυνση.

Αναβάθμιση 02/10/2025

Στον Παύλο για την ιδέα και
στον Τσάτση για το …τσίγκλισμα.
Καλό βράδυ

Γεια σου Παντελή, πολύ όμορφη άσκηση. Σε ευχαριστώ για το τμήμα της αφιέρωσης που μου αναλογεί.

Καλησπέρα Παντελή (στο παρά ένα καλημέρα)
Πολύ όμορφη.

Καλημέρα Παντελή.
Πολύ όμορφη άσκηση, αλλά δυστυχώς για λίγους….

Καλημέρα. Ωραία η ιδέα.

Δεν είναι για όλους η άσκηση, είναι δύσκολη για τον μέσο όρο. Θα σχολιάσω τις δύο φράσεις σου σε μαθητές με ανάλογο επίπεδο και θα δω τις αντιδράσεις..

Καλημέρα Παύλο , Χριστόφορε και Διονύση.
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!
Χαίρομαι που σας άρεσε.
Πάντως οι επαφές πιστεύω διδάσκονται.
Η 1η άμεσα κατά τη διδασκαλία υποθέτω (να διακρίνουν την παραστατική διαφορά όταν σε μεταβαλλόμενη υπάρχει ή όχι αρχική ταχύτητα).Κυκλοφορούν μη προσεγμένες παραστάσεις.
Η 2η όταν χρειαστεί να “δούμε” την κλίση κάποια στιγμή σε καμπύλη… φέρουμε την εφαπτόμενη στη καμπύλη αυτή τη στιγμή.
Σας ευχαριστώ

Χρόνια Πολλά για την πατρίδα, Παντελή…
Καλημέρα.

Καλημέρα Κώστα και Χρόνια πολλά!
Αντιλαμβάνομαι τη δυσκολία που θίγει και ο Διονύσης.
Στην ουσία και τα δυό φραστικά δεδομένα αφορούν κλίση,
η οποία διδάσκεται και ως προς το τι εκφράζει.
Να είσαι καλά,ευχαριστώ

Καλημέρα παιδιά.
Όμορφη Παντελή!

Καλημέρα Παντελή.
Όμορφη όπως προανέφεραν όλοι. Απαιτεί καλή κατανόηση και αν κάποιος ασχοληθεί θα βγει κερδισμένος.

Καλημέρα και χρόνια πολλά.
Γεια σου Παντελή.
Σεβόμενος την άποψη των εν ενεργεία συναδέλφων για τις δυνατότητες των σημερινών μαθητώντριών, θεωρώ ότι θα πρέπει να γίνεται μια προσπάθεια να μπορούν οι μαθητέςτριες να περιγράφουν οι ίδιοι ή να κατανοούν λεπτομέρειες δεδομένων γραφικών παραστάσεων όπως αυτής της δουλειάς του Παντελή.

Γιάννη ,Χρήστο και Άρη
Χρόνια πολλά για την ημέρα.
Μια φορά κι ένα καιρό τους έλεγα για τα δεδομένα
σ’ένα πρόβλημα ,πως μπορεί να είναι αριθμητικά ,διαγραμματικά,
φραστικά ή και εικόνες ακόμη. Το νου σας στα φραστικά!
Σας ευχαριστώ

Καλημέρα σε όλους. Παντελή τα φραστικά δεδομένα εύκολα ξεφεύγουν από την προσοχή, ιδιαίτερα σήμερα που οι μαθητές δυσκολεύονται στην ανάγνωση κειμένου. Όμορφη και στο πνεύμα του σχολικού, που έχει δυο τρεις σχετιζόμενες με κλίση.

https://i.ibb.co/Ps7PHYX5/Screenshot-2025-10-29-095118.png

Καλημέρα Αποστόλη.
Χαίρομαι που την γεφυρώνεις με το ” άγιον πνεύμα” του σχολικού,
ενώ αντίθετα δεν χαίρομαι για τη δυσκολία στην ανάγνωση κειμένου
και την κατανόηση προσθέτω.
Να είσαι καλά

Παντελή, καλησπέρα και χρόνια πολλά για τη χθεσινή μέρα.
Πολύ καλή με εστίαση στις λέξεις «εφάπτεται, εφαπτομένη» καμπύλης και «κλίση» καμπύλης και ότι εκφράζουν σε διάφορα διαγράμματα.
Νομίζω ότι, χωρίς καλή γνώση της συμπεριφοράς της πρωτοβάθμιας και της δευτεροβάθμιας συνάρτησης και με παραδείγματα, κυρίως, μέσα από τη Φυσική, τα παιδιά δεν μπορούν να πάνε μακριά. Στο εισαγωγικό μέρος μπορεί να αφιερώνεται κάποιος χρόνος για επανάληψη και εμπέδωση.

Καλησπέρα Ντίνο.
Κατανοητά τα προβλήματα των νέων στην αντιμετώπιση του θέματος,
θεωρώντας κλειδί την ισότητα των ταχυτήτων τη στιγμή της επαφής των χ-t.
Σ’ ευχαριστώ και χρόνια πολλά

Καλημέρα Διονύση πολύ όμορφη ανάρτηση απαλλαγμένη από μαθηματικά που εστιάζει στην λογική και την κατανόηση των κινήσεων.

Καλημέρα Διονύση.
Συνήθως αφήνεις …”χώρο” για εναλλακτικό συμπλήρωμα στην 2η ,όπως στην 1η ερώτηση.
Κατατάσσοντας τα χρονικά διαστήματα …γραφικά !
https://i.ibb.co/cXyqkvcJ/image.png
Καλή εβδομάδα
(Δεν μιλάς για σταθερές επιταχύνσεις αλλά ουδόλως ενοχλεί)

Καλημέρα και από εδώ Παύλο, καλημέρα Παντελή.
Παντελή ξεκίνησα να γράφω την άσκηση, δίνοντας καμπύλη τη μεταβολή της ταχύτητας στα κινητά Α και Β.
Αλλά στη διάρκεια της επεξεργασίας σκέφτηκα ότι απλά θα δυσκολέψει ένα μαθητή, ο οποίος πιθανόν να πει, ότι αυτές οι κινήσεις είναι εκτός ύλης, οπότε δεν…
Έτσι το άλλαξα, δίνοντας σταθερές επιταχύνσεις, αφού αυτό φαντάζει πιο εύκολο, ενώ στην πραγματικότητα ούτε δίνει κάποια επιπλέον πληροφορία, ούτε και λείπει κάτι. Απλά μια εικόνα…

Καλημέρα Διονύση. Πολύ ωραία!

Καλημέρα Διονύση.
Χρησιμότατη και διδακτικότητη.
Τα απλά είναι και τα πιο ωφέλιμα. Είναι και τα πιο Φυσικά.

Ωραία η σκέψη, δύσκολη η μελέτη.

Μου άρεσε το τελικό σχήμα, η κάτοψη είναι ο καλυτερος τρόπος να δοθεί σχήμα σε δύο (και παραπάνω ..) σώματα που κινούνται ταυτόχρονα.

Καλό μεσημέρι συνάδελφοι.
Δημήτρη, Χριστόφορε και Κώστα σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και την θετική υποδοχή.

Γεια σου και από εδώ Θοδωρή, πολύ όμορφη ανάρτηση που λειτουργεί συμπληρωματικά στην ανάρτηση του Διονύση Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της.

Καλό απόγευμα Θοδωρή.
Ωραία ευρήματα, αλλά και πολύ καλός ο … φίλος σου, αν και βαρεθηκε και σε εγκατέλειψε σύντομα 🙂

Θοδωρή πολύ ωραία άσκηση.

Το Chatgpt εκπαιδεύεται μέσα από τις συνομιλίες που έχει με τους χρήστες. Για αυτό είναι ακόμα δωρεάν. Όταν εκπαιδευτεί πλήρως, δεν θα υπάρχει δωρεάν επιλογή. Βέβαια, θα είναι τόσο εξελιγμένο που όλοι θα αναγκαστούμε να πληρώσουμε όπως ακριβώς έγινε με τους υπολογιστές, τα smartphone κ.λπ.

Θοδωρή καλησπέρα.
Πολυ ωραια άσκηση και την έστησες τεχνηέντως και με καλα νούμερα.
Δεν ξέρω αλλά μου θύμισε θέματα όταν ήταν όλο το στερεό. Συνειρμικά μου ήρθε στο μυαλό το Γ θέμα του 2012 που στο Γ3 μόλις πού το σύστημα έφτανε στην οριζόντια θέση.

Καλησπέρα Θοδωρή.
Εξαιρετική άσκηση. Μια παράλληλη σκέψη.

https://i.ibb.co/4wwvKmz1/Screenshot-2025-10-26-214519.png

Νομίζω πως η 1η σελίδα δεν ανέβηκε, ξαναπροσπαθώ.

https://i.ibb.co/C5dv7g3n/1-copy-1761506279-2518.jpg

Γεια σας παιδιά.
Ωραία άσκηση!
Βλέπω ένα ομογενές πεδίο που γέρνει 45 μοίρες.
Μέγιστη ταχύτητα στην κατώτερη θέση δηλαδή στις 45 μοίρες.
Το μπαλάκι πέφτει κατά h = l(1-ρίζα(2)/2).
Η ταχύτητά του γίνεται ρίζα(2g.h)
(Χωρίς χρήση τριγωνομετρικών αριθμών, μόνο Γεωμετρία τετραγώνου).

Καλημέρα, ευχαριστώ για τα σχόλια και τις εναλλακτικές ιδέες επίλυσης.

Παύλο, ευχαριστώ που μου θύμισες πως δεν είχα προσθέσει το σύνδεσμο
της “μητέρας” ανάρτησης.

Χριστόφορε, ωραία εναλλακτική, ένα κλικ πιο τσιμπημένη νομίζω…

Σιγά Γιάννη, που δεν θα έβρισκες γεωμετρική λύση….

Αναζητώ το βηματισμό σχέσης με την ΤΝ…μέχρι πριν λίγο ήμουν άσχετος…
Ψηλαφίζοντας επιδερμικά με τρομάζει….. κυρίως για τα παιδιά μας…

Για να είμαι ειλικρινής, ξεκίνησα θεωρώντας πως με dLο/dt=Στ(ο) θα είχαμε
έναν τρόπο προσέγγισης που δεν θα είχαμε μέσω dp/dt=ΣF(επ)….

Μόλις έκανα την ανάρτηση, είδα πως αντίστοιχα και λίγο πιο εύκολα,
φθάνεις στα ίδια συμπεράσματα, αφού ΣF(επ)=Fσυνφ-wημφ=F(συνφ-ημφ)…

Καλημέρα και καλή εβδομάδα.

Καλά θέματα για προβληματισμό τόσο του Διονύση όσο και του Θοδωρή.

Θα ήθελα να προσθέσω ότι το έργο της σταθερής δύναμης F θα προτιμούσα να το υπολογίσω κατευθείαν από το γνωστό τύπο WF = |F| * |ΔXAB| *συνα = |F| * |x| δηλαδη να έβλεπα το x ως την προβολή της μετατόπισης στη σταθερή διεύθυνση της δύναμης.

Όσον αφορά το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας θα ήθελα στον τύπο να υπάρχει και το κομματι εκείνο που περιέχει ολοκληρωμένα την ισχύ του βάρους καθώς και την ισχύ της δύναμης F .

Ίσως να το έγραφα : dK/dt = dW(Σf) / dt = ΣF*υ = ΣFt*υ + ΣFr*υ , διανύσματα.

Τα εργαλεία των μαθηματικών πρέπει να τα χρησιμοποιούμε πάντα είτε αφορουν στοιχειώδη αθροισματα , είτε αφορουν εσωτερικά γινόμενα .

Η κίνηση στην άσκηση σου Θοδωρή ξεκινά με ταχύτητα μηδέν και καταλήγει σε ταχύτητα μηδέν. Άρα υπάρχει μια φάση επιταχυνόμενης κίνησης και μια φάση επιβραδυνόμενης κίνησης , επομένως κάποια στιγμή έχουμε και μεγιστοποίηση του μέτρου της ταχύτητας άρα και της στροφορμής .

Τότε η συνισταμένη των δυνάμεων στην εφαπτομενική διευθυνση είναι μηδενική (αεπ = 0) , έχουμε F*συνφ=W*ημφ , επειδή F=W (μέτρα) τότε φ=45 μοίρες . Προφανώς τότε τόσο ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμης ως προς το Ο όσο και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας θα είναι μηδενικοί.

Καλησπ´ρεα Θοδωρή. Πολύ όμορφη!
Πειραξα λίγο την τριγωνομετρία και εβγαλα τα παρακάτω:https://i.ibb.co/TpDqrFp/SCAN-okt60.png

και…..https://i.ibb.co/LH7YQTZ/SCAN-okt61.png

και για (ΔΚ/Δt)max :https://i.ibb.co/ymr6BMTS/SCAN-okt62.png

και η αντιστοιχη γραφική :https://i.ibb.co/fz15dv6m/SCAN-okt63.png

Κώστα οι μαθητές έχουν διδαχθεί ευθύγραμμες κινήσεις όπου το διάνυσμα Δχ
βρίσκεται πάνω στη διεύθυνση της κίνησης και το διάνυσμα της σταθερής F
μπορεί να έχει άλλη διεύθυνση, η οποία σχηματίζει γωνία θ με το Δχ.

Στην οριζόντια βολή που είναι καμπυλόγραμμη το έργο του βάρους, ως διατηρητική δύναμη, υπολογίζεται με τη διαφορά δυναμικής βαρυτικής ενέργειας, αρχικής και τελικής θέσης.

Δεν οφείλουν να γνωρίζουν αυτό που αναφέρεις, το οποίο ουσιαστικά
προκύπτει αθροίζοντας άπειρα στοιχειώδη έργα όπως έδειξε ο Διονύσης.

Για μένα το σημαντικό, στην ανάρτηση του Διονύση δεν είναι το έργο της F.
Αυτό οφείλει κατά τη γνώμη μου να δοθεί. Το σημαντικό είναι να “ανακαλύψουν” την κίνηση που περιγράφεις η οποία εκτιμώ πως αναδύεται από τα σχήματα για γωνίες
0<φ<π/4 και π/4<φ<π/2

Γιώργο, με τρόμαξες….. από τη μία θαυμάζω την ικανότητά σου στον μαθηματικό φορμαλισμό, από την άλλη τρομάζω….

Απλά να σου θυμίσω πως πέρα από τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών και συμπληρωματικών γωνιών…..υπάρχει βαθύ σκοτάδι….

Καλημέρα Θοδωρή. Σιγουρα αυτη η προσέγγιση δεν eίναι για τους μαθητές.
Απλά όταν εφτασα στη σχεση συνφ-ημφ είπα να την πειράξω λίγο και….. βγηκαν ολα αυτά. Τα ανέβασα όχι για τους μαθητές, αλλά για όποιoν ενδιαφέρεται.
Μια μικρή διορθωση στο τέλος:
(Δκ/Δt)max = 80 sqr(5 *0,053) =41,2 J/s

Καλημέρα .

Θοδωρή όσον αφορα το εργο εφαρμοσα τον γνωστο τυπο , τιποτα παραπανω . Συνέχεια μιλαμε για τη διαφορα μετατοπισης και διαστήματος , τι είναι το ένα και τι είναι το αλλο . Όπως και να εχει , το ειπα αλλώστε , όλα χρειαζονται και τα στοιχειωδη αθροισματα αλλά και τα εσωτερικα γινομενα και πολλα αλλά που έχουν σχεση με τα μαθηματικα.

Γιώργο λίγο προσοχή στην πραξη f(συνΘ)max αυτή σου δίνει 0.0563 περιπου και τελικα :

(dK/dt)max = 80 sqr(5 *0,0563) =42.45 j/s περιπου .

Επειδη εχω κανει άλλο τροπο λύσης και εχω καταλήξει σε όμοιο αποτελεσμα με αυτό που σου εγραψα για αυτό εψαξα να βρω τι γινεται. Πιστευω να βρω χρονο να το ανεβασω , Στις 75.78 μοιρες (επιβραδυνόμενη φάση της κινησης) έχουμε -42.45j/s . 🙂


Καλημέρα Κώστα. Το είδα λιγο πριν το λάθος και το ανέβασα στην τελευταια μου παρέμβαση.
Η μελέτη μου ήταν στην επιταχυνόμενη φάση. Για την επιβραδυνόμενη φάση
έχεις δίκιο. Άλλωστε λόγω συμμετρίας πρέπει η φ να είναι 90-14,2=75,8 μοίρες και ο ρυθμός μεταβολής αντίθετος από την επιταχυνόμενη φάση.

Κώστα δεν διαφωνώ θεσμικά σε αυτό που γράφεις, όταν F=σταθερή, τότε
W(F)=FΔx (εσωτερικό γινόμενο) –> W(F)=FΔxσυνθ, όπου F, Δx μέτρα και θ η γωνία μεταξύ F, Δx. Η εμπειρία τάξης σε ακροατήριο πάνω του μέσου όρου κατανόησης,
έχει δείξει πως αντιμετωπίζεται με σκεπτικισμό, ενώ η ανάλυση μέσω dW=Fds κλπ
γίνεται άμεσα αποδεκτή.

Γιώργο, προφανώς και δεν απευθύνονται σε μαθητές, αλλά ό,τι εγώ αδυνατώ να εφαρμόσω μου προκαλεί θαυμασμό και “ζήλεια” !!!!!

Θοδωρή και Γιώργο καλη Κυριακη εύχομαι .

Μπορει να το ανεβασω αργοτερα αυτο που έχω κανει, θέλει σχηματα κλπ ….

Αλγεβρικά συμφωνα με τα προηγούμενα:
Δκ/Δt = (+/-) 80*sqr(5)* sqr(f(συνθ)) =(+/-) 80 sgr(5*0,053) = (+/-) 41,2 j/s
και συνθ =0,859 => συνθ= συν30,8
Αρα θ=30,8 => φ = 45-30,8= 14,2 μοίρες για θετικό ρυθμό
θ=-30,8 => φ= 45-(-30,8) = 75,8 μοιρες για αρνητικό ρυθμό.

Καλησπερα σε ολους. Γιαννη στο  ομογενές πεδίο που γέρνει 45 μοίρες το οτι η ταχύτητά του γίνεται ρίζα(2g.h) οταν αυτο πεσει κατα h πως το βρισκεις?

Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Η σύνθεση δύο σταθερών δυνάμεων δίνει σταθερή δύναμη.
Αν η F διέφερε σε μέτρο από το βάρος, τότε δεν θα έφτανε στη θέση Γ αλλά σε άλλη.
Στο ,ούτως ειπείν, πεδίο αυτό θέση χαμηλότερης δυναμικής ενέργειας είναι αυτή που απέχει L από το Ο και σχηματίζει γωνία 45 μοιρών.
Έπειτα μια διατήρηση ενέργειας από τη θέση Α ως τη θέση αυτήν.

Γιαννη συμφωνω ως προς το αποτελεσμα ,ομως εχεις την συνθεση μιας συντηρητικης δυναμης που ειναι το βαρος και μιας αλλης οχι συντηρητικης δυναμης η οποια ασκειται απο εναν αγνωστο μηχανισμο. Η συνθεση αυτη δεν δινει συντηρητικο πεδιο και επομενως δεν μπορεις να χρησιμοποιησεις ενεργειες για να βρεις την ταχυτητα στο κατωτατο σημειο Πρεπει να υπολογισεις αναλυτικα το εργο της F και να κανεις ΘΜΚΕ και πεφτεις παλι στον υπολογισμο τον οποιο προσπαθησες να αποφυγεις. Η γνωμη μου ειναι οτι αυτο που θελεις να κανεις ειναι σωστο, ομως πρεπει να δικαιολογησεις επαρκως αυτο το τεχνασμα. Και εγω το εχω κανει ακομα και σε ταλαντωση παρουσια τριβης ολισθησεως οπου αντικαθιστω την τριβη για ενα κομματι της κινησης μεταξυ δυο ακινητοποιησεων,με μια συντηρητικη δυναμη οπως το βαρος και κανω τους υπολογισμους μου. οπως εδω Πού θα σταματήσει και πότε. Γραφική λύση. Καποια τετοια τεχνασματα συχνα θεωρουνται οτι με βαση τας γραφάς ειναι αιρετικα 🙂 Ενα παρομοιο τεχνασμα κανω και εδω στο πρωτο μου σχόλιο Η στροφορμή και οι ρυθμοί μεταβολής της

Καλησπέρα Θοδωρή. Ωραία άσκηση. Βοηθάει πολύ την κατανόηση της στροφορμής. Όταν στις εξετάσεις δίνουμε τυπολόγιο, γιατί να μη δοθεί ο τύπος υπολογισμού του έργου της F; Ένας τύπος που δεν περιέχει κάποια νέα γνώση και απαιτεί μόνο την εφαρμογή του στη λύση. Στη γραφική παράσταση έχεις dL/dt (max) = 20Nm. Μήπως θέλει 40Nm;
Και το αντίστοιχο i.p.
Μέγιστη στροφορμή υλικού σημείου

Κωνσταντίνε για το λόγο αυτόν μιλάω για “ούτως ειπείν πεδίο” και όχι “πεδίο”.
Θα είχαμε πεδίο αν η F ήταν βαρυτική έλξη.
Την “αντικαθιστούμε” με βαρυτική έλξη και δουλεύουμε.
Παλιότερα:
Η μέγιστη εκτροπή του εκκρεμούς.

Διαφέρει από αυτήν διότι την D’ Alembert την θεωρούμε πεδιακή χωρίς την παρούσα αυθαιρεσία.

Καλησπέρα Κώστα . Εκανα ξανα τις πράξεις . Ειναι f(συνθ) =0,0563 αντι 0,053 (προφανώς το αντέγραψα λαθος απο το κομπιουτεράκι) και δινει τον ρυθμό όπως εσυ λες (ΔΚ/Δt)max = 42,45 j/s (σε απόλυτες τιμές).

Καλησπέρα,

ναι Ανδρέα dL/dt (max) = 40Nm και όχι 20Νm, αλλά τη γραφική
την έκανε ο “φίλος” μου στο chatgpt οπότε τώρα δεν αλλάζει….νομίζω ελάχιστη σημασία έχει….

Να διευκρινίσω πως δεν θα πρότεινα λύση με “ούτως ειπείν, πεδίο”, αφού
η συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών θα χαθεί στη μετάφραση

Ό,τι είναι κομψό δεν είναι κατ’ ανάγκη διδακτικά ωφέλιμο.

Τέτοιες λύσεις είναι κομψές και ενδείκνυνται για την παρέα του ylikonet….

Κατανοώ πως ο Γιάννης δεν την ανέφερε για μαθητές…

Επειδή όμως ο Κωνσταντίνος επιμένει δια της πλαγίας

“Καποια τετοια τεχνασματα συχνα θεωρουνται οτι με βαση τας γραφάς ειναι αιρετικα ” 

οφείλω να δηλώσω ξανά την πλήρη αντίθεσή μου….

Αν συζητάμε χαριτολογώντας για πεδιακές δυνάμεις τριβής ολίσθησης,
μετά μένει να δεχθούμε πως

“η μηχανική ενέργεια διατηρείται όταν η ασκούμενη τριβή ολίσθησης εκτελεί έργο…..”

Μετά όμως μην διαμαρτυρόμαστε που οι μαθητές θεωρούν τη φυσική κάτι σαν τα κινέζικα…….

Γιώργο ακολουθησα μια διαφορετικη διαδρομη από τη δικη σου για να καταλήξω στον μέγιστο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Βέβαια χρειαστηκε να λυσω κάποιες εξισωσεις με τη βοηθεια του WolframAlpha ….

Στο παρελθον είχα κάνει κατι σχετικό (μπορεις να το βρεις στο ιστολογιο μου) όμως εδώ χρησιμοποίησα μια σκέψη που είχε κάνει ο Δ. Μητρόπουλος σε μια δικη του ανάρτηση η οποία αφορουσε το προβλημα που είχα εξετασει

Η ανάρτηση του Μητροπουλου

Παρακάτω η ανάλυση μου :

https://i.ibb.co/fVBsFHMh/1.png
https://i.ibb.co/TDfnV3Nt/2.png

Eνταξει θοδωρη συμφωνω δεν δειχνουμε αυτες τις μεθοδους σε υποψηφιους που προετοιμαζονται γιατι μαλλον θα μπερδευτουν ασχημα. Μονο στο 1o ΕΠΑΛ Δραπετσωνας σε τμημα μονο κοπελες ειδικοτητα κομμωτικη και νυχια που ειχα,εκανα τετοια. 🙂

Καλημέρα παιδιά.
Εννοείται πως δεν θα παρουσίαζα λύση στην τάξη με “ούτως ειπείν πεδία”.

Το νήμα δεν γίνεται ποτέ οριζόντιο για πεπερασμένη οριζόντια δύναμη.

Καλημέρα κ. Βάρβογλη.
Γίνεται οριζόντια με F =w :
https://i.ibb.co/5WRtDf1G/Screenshot-1.png

(ακρίβεια 200).

Μπορούμε να ξεπεράσουμε την οριζόντια θέση αν F>w :
https://i.ibb.co/FqWyK2NG/Screenshot-2.png

Η προσομοίωση:
Για F=10 N φτάνει στην οριζόντια θέση. Με μεγαλύτερες τιμές ξεπερνάει αυτή τη θέση.
Η ακρίβεια της προσομοίωσης είναι 200 (πολύ καλή).

καλημέρα σε όλους
σωστός Χάρη
χρειάζεται και μια κατακόρυφη (ίση και) αντίθετη με το βάρος
(εκτός και αν η μπίλια περιστρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο,
το έχω γράψει και σε προηγούμενο σχόλιό μου)

Βαγγέλη διάβασε πιο προσεκτικά.
Δεν είναι θέση ισορροπίας!!
Είναι ακραία θέση μιας (όχι αρμονικής) ταλάντωσης.
Φυσικά η συνισταμένη δεν είναι μηδέν. Αν ίσχυε κάτι τέτοιο δεν θα σταματούσε.

Δεν είδες τις εικόνες από την προσομοίωση;
Και αυτές και η ίδια η προσομοίωση δείχνουν ότι φτάνει στην οριζόντια θέση αν F=w.
Την ξεπερνάει αν F>w.

Καλημέρα Κώστα. Πολύ καλή και η δικιά σου λύση παρ’όλο που έχει αρκετές πράξεις (ούτως ή αλλως έχει αρκετές πράξεις!)
Και εγώ στην γραφική συνάρτηση του f(συνθ) χρησιμοποίησα το WolframAlpha ….
Παρεπιπτώντως την ξανα- ανεβαζω πιο πλήρη:https://i.ibb.co/q2hn3Gd/SCAN-okt63.png

Γιάννη
νόμισα πως ήταν συνέχεια ή προσθήκη της άσκησης του Ανδρέα

Καλημέρα σε όλους.
Υπέροχη ομαδική δουλειά, ξεκινώντας από Διονύση, Θοδωρή και υπόλοιπους.
Η ιδέα του Γιάννη για σύνθετο πεδίο με βρίσκει οπαδό.
Και επειδή για μια τυχαία F έχει δίκιο ο Κωνσταντίνος, νομίζω μπορούμε να το ξεπεράσουμε με την εμφάνιση ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου αν δώσουμε από την αρχή φορτίο στη σφαίρα.
Ίσως έτσι μέσω της διαφοράς δυναμικής ενέργειας βρούμε πιο εύκολα το έργο της F.
Και φυσικά μπορεί να πάρει και απλοποίηση για μαθητές η άσκηση αν ζητήσουμε με δεδομένη τη γωνία 45 μοίρες στροφορμή και ρυθμούς μεταβολής.
Θα τα δοκιμάσω σήμερα στην πράξη.
Να είστε όλοι καλά!

Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ.
Σίγουρα έχει αρκετή διαδικασία. Βέβαια τα του σχήματος (i) είναι σχέσεις που προφανώς είναι αναγκαίες απλώς τις έγραψα εκ νέου για την πληρότητα της λύσης. Στο σχήμα (ii) βρίσκεται η ιδιαίτερη σκέψη της λύσης μου και μάλιστα χρειάζεται ένα πολύ καλό σχήμα για να γίνουν εμφανή και όχι μόνο κάποια πράγματα. Βέβαια το Wolfram είναι απαραίτητο, αρκετές φορές το χρησιμοποιώ!
Τα λέμε πάλι.

Και ένας άλλος τροπος υπολογισμού της ταχύτητας (με διανύσματα):https://i.ibb.co/MxYgkd4c/SCAN-okt66.png

Από την εκφώνηση δεν είναι σαφές ότι προκειται για στιγμιαία θέση. Σε αυτή την περίπτωση η λύση είναι απλούστατη. Το υλικό σημείο “κερδίζει” ενέργεια mgh, την οποία δίνει το έργο που παράγει η δύναμη. Σε απόλυτες τιμές: integral F r sinθ dθ από 0 σε 90 = mgh.

Χ.Β: “Από την εκφώνηση δεν είναι σαφές ότι προκειται για στιγμιαία θέση.”

Η εκφώνηση:

“Το νήμα είναι κατακόρυφο και η σφαίρα ισορροπεί στη θέση Α. Κάποια στιγμή ασκούμε στη σφαίρα μια σταθερή οριζόντια δύναμη , κατάλληλου μέτρου F, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, χωρίς να ξεπεράσει τη θέση αυτή”

Τί άλλο θα έπρεπε να λέει ώστε να είναι σαφές ότι πρόκειται για ακρότατη θέση τροχιάς στιγμιαίου μηδενισμού ταχύτητας;;;;;

Και αν αυτό δεν είναι σαφές (;;;;;) είναι σίγουρα προφανές πως με οριζόντιο νήμα,
άρα οριζόντια τάση Τ, οριζόντια δύναμη F και κατακόρυφο βάρος w, η σφαίρα
είναι αδύνατον να ισορροπεί…..

Καλησπέρα.
Θοδωρή μια γενίκευση με βαση και την ερωτηση του Γιάννη αν θα κάνει ανακύκλωση
https://i.ibb.co/Q40qsWB/2025-10-30-203252.png

https://i.ibb.co/vCYxMJTR/2025-10-30-203455.png

https://i.ibb.co/8LyNhSJV/2025-10-30-203600.png

Γειά σας. Κι εγώ εξέλαβα ως στιγμιαία την … οριζοντιοποίηση του νήματος επηρεαζόμενος και από την προηγηθείσα σχετική θεματολογία και συζήτηση. Όμως πράγματι για την σαφήνεια της διατύπωσης και την ανεξαρτησία της από ότι προηγήθηκε χρήσιμο είναι θεωρώ να προστεθεί στην εκφώνηση η λέξη “στιγμιαία” και να γίνει… ” ώστε το νήμα να γίνει στιγμιαία οριζόντιο” . Είναι εύλογο κατά τη γνώμη μου το σχόλιο του Καθηγητή Βάρβογλη.

Καλησπέρα, Γιώργο (Κόμη) πλήρης και κατανοητή η μελέτη σου, ευχαριστώ.

Να συμπληρώσω πως στη θέση στιγμιαίου μηδενισμού της ταχύτητας, μηδενίζεται
η κεντρομόλος δύναμη, οπότε υπολογίζοντας την τάση του νήματος στη θέση αυτή,
προκύπτει ίση κατά μέτρο με το βάρος Τ=w, ανεξάρτητα από τη γωνία φ

Καλησπέρα Γιώργο (Βουμβάκη), ο καθηγητής κύριος Βάρβογλης
σχολίασε αρχικά και χωρίς διάθεση να επιχειρηματολογήσει πως:

“Το νήμα δεν γίνεται ποτέ οριζόντιο για πεπερασμένη οριζόντια δύναμη”

Σε μία καλοπροαίρετη και συναδελφική ανταλλαγή απόψεων, όταν
δηλώνουμε κάτι που έρχεται σε αντίθεση με όσα έχουν γραφεί,
οφείλουμε να επιχειρηματολογήσουμε, έστω και στοιχειωδώς…

Άλλως, ο καθένας αντιλαμβάνεται ό,τι θέλει…. δημιουργώντας ατεκμηρίωτες εντυπώσεις….

Κατόπιν ο καθηγητής δηλώνει πως:

“Από την εκφώνηση δεν είναι σαφές ότι προκειται για στιγμιαία θέση.”

Τελικά τί γίνεται κατά τον καθηγητή;

Φθάνει στην οριζόντια θέση ή δεν φθάνει;

Ποιος ανέφερε ότι φθάνει και ισορροπεί; Και πώς να ισορροπήσει όταν δέχεται
μηδενική συνισταμένη ακτινικά (Τ=w) και ταυτόχρονα ΣF=w ;;;;;

Αν υπήρχε πραγματική ανάγκη συμπλήρωσης δεν θα είχα πρόβλημα να το δεχτώ και να το κάνω…

Πιστεύω όμως πως δεν χρειάζεται….

Η γνωμη μου ειναι οτι στην εκφωνηση δεν πρεπει να αλλαξει τιποτα. Δεν υπαρχει ασαφεια.Το συστημα δεν προκειται να ισορροπησει ποτε και κατα συνεπεια ολες οι θεσεις απο τις οποιες περναει ειναι στιγμιαιες. Αυτο πρεπει να το σκεφτει μονος του ο αναγνωστης δεν ειναι υποχρεωμενος να το γραψει στην εκφωνηση ο ερωτων.Ο μόνος τροπος να μπερδευτει καποιος ειναι να διαβασει απροσεκτα την ασκηση.
Ακριβως αυτο το θεμα ειχαμε συζητησει εδω οπου η ταλαντωση δεν οφειλεται σε δυναμη αλλα σε επιταχυνση που ομως ειναι το ιδιο.Η γωνία απόκλισης του εκκρεμούς και η επιτάχυνση

Στην ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση σε οριζόντιο δάπεδο με την επίδραση της τριβής, το σώμα φτάνει μέχρι μια θέση και δεν την ξεπερνάει.Το ίδιο συμβαίνει και με την κατακόρυφη βολή προς τα πάνω. Η πρώτη είναι θέση μόνιμου μηδενισμού της ταχύτητας και η δεύτερη στιγμιαίου. Τα ενδεχόμενα είναι δύο.Γι αυτό θεωρώ χρήσιμη τη διευκρίνιση εν προκειμένω, για να μην σκεφτεί κάποιος την περίπτωση που δεν έχει στο μυαλό του ο θεματοδοτης. Συμβαίνει κάποτε άλλο να έχουμε στο μυαλό μας διατυπώνοντας ένα θέμα και άλλο να εκλαμβάνουν όλοι ή κάποιοι από αυτούς που το διαβάζουν . Πόσα και πόσα τέτοια σχόλια έχουν γίνει εδώ για κάποια από τα θέματα των Πανελλαδικών… Σε τούτο το θέμα για να αποφευχθεί κάθε τέτοιο ενδεχόμενο θεώρησα ότι πρέπει να προστεθεί στην εκφώνηση μία μόνο λέξη….Μια μόνο.

Γιώργο, στο παράδειγμα που αναφέρεις με την τριβή ολίσθησης,
μόλις μηδενιστεί η ταχύτητα υ=0, μηδενίζεται η τριβή ολίσθησης Τ=0
οπότε υ=0 και ΣFx=0, οπότε το σώμα ισορροπεί.

Στην περίπτωση που αναφέρεται στην εκφώνηση υπάρχει έστω και μία πιθανότητα
το σφαιρίδιο να ισορροπήσει;

Αν μου αναφέρεις κάποια ευχαρίστως να προστεθεί η λέξη.
Αν όχι δεν χρειάζεται

Το 2019 έγινε ντόρος πολύς γιατί δεν αναγράφηκε η λέξη κάτοψη στο σχήμα
και ο μαθητές απάντησαν θεωρώντας κατακόρυφο επίπεδο και περιστροφή γύρω από οριζόντιο άξονα, ενώ η εκφώνηση ανέφερε ρητά οριζόντιο επίπεδο και κατακόρυφο άξονα….Και τότε μία λέξη ήταν….έφταιγαν οι θεματοδότες αν οι μαθητές δεν διαβάζουν την εκφώνηση ή ακόμα χειρότερα αν δεν έχουν κατανοήσει τη διαφορά;;;;

https://i.ibb.co/Lh1ZkYbY/2019.png

1.
N2O5 CO2 SO2
mol 0,004 0,002 0,004

2.
pH=0 

Καλημέρα Διονύση, έχεις βάλει κάμερες στις τάξεις;;;;

Μπαίνω την άλλη ώρα να κάνω στροφορμή !!!!!

Πολύ καλή…

Θοδωρή πρόσεξε γιατί ο Διονύσης έχει ξεχάσει στο iii) να πει ως προς πιο σημείο ζητά την στροφορμή και τον ρυθμό μεταβολή της.
Βέβαια στο i) το αναφέρει.

Καλημέρα Θοδωρή, καλημέρα Γιώργο.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Θοδωρή χαίρομαι που το “πέτυχα” αφού η απουσία μου από τις αίθουσες μου δημιουργεί ένα πρόβλημα, που βρίσκονται τα σχολεία, ώστε να μην κάνω άκαιρες αναρτήσεις…
Γιώργο, όποιος δεν έχει μυαλό, έχει ποδάρια και όποιος ξεχνάει να πάρει τα γυαλιά Ηλίου και βγαίνει βόλτα, γυρίζει και τα παίρνει 🙂

Kαλημερα Διονυση Θοδωρή και Γιώργο.Διονύση πολυ καλη ασκηση οπως αλλωστε ολες που κατασκευαζεις.
Ως προς το ερωτημα ii.να κανω ενα σχόλιο. Στο σχημα βλεπω δυο σταθερες δυναμεις.Την F και την W. To εργο της W οπως γραφεις ειναι το εργο μιας συντηρητικής δύναμης και ισουται με -Wh οπου h η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. Η F βεβαιως ειναι μεν σταθερη δυναμη αλλα δεν θα την καλεσω συντηρητικη. Αν την καλεσω συντηρητικη,τοτε θα ξεκινησει μια συζητηση η οποια θα διαρκεσει μεχρι την επομενη συναντηση μας στην ταβερνα. 🙂 Ο βασικος μαθηματικος τροπος ομως υπολογισμου του εργου ειναι ενας και δεν μπορει να δινει αλλο αποτελεσμα για την μια σταθερη δυναμη και αλλο αποτελεσμα για την αλλη σταθερη δυναμη .Δεν μιλαω για δυναμικα ουτε τα οριζω. Αρα το εργο της F ειναι Fx. Συμφωνεις με αυτη την δικαιολογηση; Συναδελφοι συμφωνειτε; 🙂

Kαλημέρα Κωνσταντίνε.
Ο μαθητής που θα μπορέσει να κάνει τον συλλογισμό σου είναι πανέξυπνος.
Οταν μεγαλώσει θα γίνει Κωνσταντίνος.Θα μπορούσε ή και θα έπρεπε να ειπωθεί η αντιστοιχία αυτή στην τάξη.
Όμως στην περίπτωση που η δύναμη έχει μεν σταθερό μετρο αλλά εφάπτεται στην τροχιά ο συλλογισμός προφανώς δεν λειτουργεί.
Θα πρέπει όμως ο μαθητής να μπορεί να υπολογίζει το έργο σε αυτήν την περίπτωση.
Η μέθοδος Διονύση τον βοηθά να πει τελικά ότι το εργο δύναμης σταθερού μέτρου που εφάπτεται στην τροχιά ειναι δύναμη επι μήκος τροχιας.

Γεια σου Γιωργο.Αν η δυναμη εφαπτεται στην καμπυλη τροχια η δυναμη δεν ειναι σταθερη.Τοτε τα πραγματα ειναι διαφορετικα και αυτα που εγραψα φυσικα και δεν λειτουργουν..Εδω στην ασκηση του Διονύση εχουμε δυο σταθερες δυναμεις,την F και την W οι οποιες εχουν ακριβως την ιδια γεωμετρικη σχεση με την τροχια.Καμια απο τις δυο δεν εφαπτεται στην τροχιά.

Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Νομίζω ότι ο μαθητής θα πρέπει να καταστεί ικανός να υπολογίζει έργο σταθερής δύναμης για μια τυχαία τροχιά, ανεξάρτητα από το αν η δύναμη είναι ή όχι συντηρητική.
Άρα στην απόδειξη και στη μελέτη αυτή, δεν πρέπει να γίνεται, κατά τη γνώμη μου, καμιά αναφορά σε συντηρητικές δυνάμεις, για να μην δοθεί η ευκαιρία… διολίσθησης σε εσφαλμένα συμπεράσματα και σε άλλες ατραπούς…
Προφανώς το τελευταίο που με απασχολεί, στο ζήτημα αυτό, είναι αν μπορεί ο μαθητής εύκολα να χρησιμοποιήσει κάποιο συλλογισμό και να … κόψει δρόμο.

Εχω την εντυπωση Γιωργο οτι αν η δυναμη εφαπτεται στην τροχια αλλα εχει σταθερο μετρο,μπορεις να πεις  δύναμη επι μήκος τροχιας. κατ ευθειαν χωρις αποδειξη,ετσι μου φαινεται.

Ενταξει Διονυση κατανοητόν.

Καλησπέρα σε όλους.Πολύ όμορφη άσκηση! Πιστεύω ότι ο καλύτερος (μαθηματικός) τρόπος είναι αυτός που αναπτύσσει στην λύση του ,ο Διονύσης.
Ο άλλος τροπος ,”για να κοψεις δρόμο”, ειναι από τον ορισμό: Αν ορίσουμε σαν εργο σταθερής δύναμης το γινόμενο της δύναμης επι την προβολή της τροχιάς του σημείου εφαρμογής της δύναμης στη διεύθυνση της δυναμης(θετικό αν αυτή είναι στην ίδια φορα με την δύναμη, αρνητικό αν έχει αντίθετη φορά) , τοτε καταλήγουμε, αμέσως ,σε αυτο που αναφέρει ο Κωνσταντίνος.

Καλησπέρα Διονύση.
Πολύ διδακτική που αναδεικνύει και γνωσεις απο προηγούμενες τάξεις. Να προβλέψω η δύναμη να γίνει εφαπτομενικη στην τροχιά και να υπολογιστεί πάλι το έργο;
Και οσο για το οτι ο Διονύσης ειναι εκτος σωματικα απο τις τάξεις πνευματικά ειναι πιο μεσα απο τον καθένα μας.

Καλησπέρα Διονύση. Την ίδια απορία θα εκφράσω με το Θοδωρή. Σήμερα τους έκανα την άσκηση του Αποστόλη Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της
Το Γ μέρος έχει σταθερή δύναμη, αλλά η κίνηση γίνεται σε οριζόντιο επίπεδο. Ένας μαθητής ρώτησε, πως λύνεται αν η σφαίρα κρέμεται από το ταβάνι. Του είπα θα το δούμε στο επόμενο μαθημα. Και νάτη η άσκηση έτοιμη…
Το έργο του βάρους διδάσκεται ως διαφορά δυναμικών ενεργειών, οπότε εξηγείται γιατί Wβ = -mgΔh.
Το έργο της F δε μπορεί να εξηγηθεί έτσι, άρα θέλει ένα αποδεικτικό ερώτημα για τον τύπο.
Η στροφορμή εξαρτάται από τη γωνία φ του νήματος με την κατακόρυφο. Έκανα τη γραφική παράσταση με το graph. Πράγματι βλέπουμε την τιμή της στις 37 μοίρες 8kgm^2/s και αρνητικό ρυθμό μεταβολής.
https://i.ibb.co/Xf0jmVXZ/image.jpg

Καλησπέρα Διονύση.Σε ανάρτησή σου στις 31/10/24 έχεις διατυπώσεις την άποψη:Και που να ξέρει Διονύση ο μαθητής το έργο σταθερής δύναμης σε καμπύλη τροχιά;Τί άλλαξε;

Γεια σας και πάλι. Η στροφορμή με τους περιορισμούς που έχουν θέσει στη
διδασκαλία της φαντάζει ως ένα μέγεθος που δύσκολα γίνεται αντιληπτή
σε πρώτο χρόνο η ανάγκη εισαγωγής του.

Οι μαθητές για να κατανοήσουν τον λόγο διδασκαλίας της στροφορμής χρειάζονται
παραδείγματα όπου η στροφορμή του σώματος διατηρείται, ενώ η ταχύτητα μεταβάλλεται, όπως στη σπειροειδή τροχιά σφαίρας δεμένης στο άκρο νήματος σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όταν το νήμα διέρχεται από την οπή και ασκώντας κατάλληλη δύναμη μεταβάλλουμε το μήκος του.

Ακόμα καλύτερα, όταν σε μία κρούση διατηρείται η στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής, αλλά όχι η ορμή των σφαιρών που συγκρούονται…
Εδώ βέβαια, γίνονται οι γνωστές αλχημείες με την αβαρή ράβδο και το στερεό ράβδος-μάζες σφηνωμένες στη ράβδο…

Διονύση, περιμένουμε μία ανάλογη ανάρτηση, διατήρησης της στροφορμής αλλά όχι της ορμής….

Στη συγκεκριμένη ανάρτηση θα είχε ενδιαφέρον ένα ερώτημα:

“Ποια το ελάχιστο μέτρο της δύναμης F, ώστε η ράβδος να φθάσει στη θέση, όπου θα μηδενιστεί η ροπή της F, ενώ η ροπή του βάρους θα αποκτήσει μέγιστο μέτρο, αντίθετα δηλαδή με ό,τι ίσχυε στην αρχική θέση”

Καλημέρα σε όλους.
Χρήστο, Ανδρέα, Θύμιο και Θοδωρή σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις τοποθετήσεις.
Θύμιο και τώρα λέω “Και που να ξέρει ο μαθητής το έργο σταθερής δύναμης σε καμπύλη τροχιά;”
Υπάρχει κάποια παράγραφος ή κάποια εφαρμογή που να διδάσκεται στο σχολείο που να αναφέρεται στο θέμα; Όχι. Και τότε;
Και τότε έρχεται μια άσκηση, όπως αυτή εδώ, η οποία αντιμετωπίζει το ερώτημα από “μηδενική βάση” Να αποδειχτεί ότι…
Άσκηση είναι Θύμιο!
Και μέσω μιας τέτοιας άσκησης μπορεί να καλυφτεί το κενό για έναν μαθητή, o οποίος προφανώς πρέπει να εμπλακεί…

Θοδωρή επανέρχομαι, πηγαίνοντας 3 χρόνια πριν:

Μια κρυμμένη στροφορμή
Τι λες, σου κάνει;;
Διατηρείται η στροφορμή, αλλά όχι η ορμή… (και δεν έχει και αβαρή ράβδο) 🙂

Καλημέρα Διονύση. Είμαι κατά ένα μάθημα πίσω από τους συναδέλφους, αλλά σύντομα θα αξιοποιηθεί!
Πολύ διδακτική, ευχαριστούμε!

Καλό απόγευμα Μίλτο.
Χαίρομαι που σου άρεσε και που πρόκειται να χρησιμοποιηθεί…

Καλησπέρα Διονύση.Η απόδειξη της προηγούμενης ανάρτησης ήταν για το έργο δύναμης σταθερού μέτρου διαρκώς εφαπτόμενης σε καμπύλη τροχιά(Δικιά μου ή όχι πάντως υπάρχει).Το ίδιο τετριμμένο είναι η απόδειξη του έργου σταθερής δύναμης σε καμπύλη τροχιά.Άν η προηγούμενη απόδειξη είναι εκτός πώς αυτή η απόδειξη είναι εντός;

Σύ ύπας

Καλησπέρα σε όλους.Σχετικα με τις παρατηρήσεις του Θύμιου έχω να πω το εξής:Δεν χρειάζεται να ξέρει ο μαθητής να κάνει έναν υπολογισμό ενός επικαμπυλιου ολοκληρώματος με εκλαϊκευμένη διατύπωση..Δεν έχει ερωτηθεί ποτέ σε εξετάσεις και ούτε πρόκειται. Είναι τεχνικό βήμα και μόνο Μαθηματικά όχι Φυσικη.Τα παιδιά Υγείας δεν έχουν ιδέα από τέτοια πράγματα.Δεν το έχω κάνει ποτέ στην τάξη και ούτε θα το κάνω με τα υπάρχοντα αναλυτικά προγράμματα. Όμως στην περίπτωση δύναμης σταθερού μέτρου και συνεχώς εφαπτομένης σε καμπύλη τροχιά,τα πράγματα είναι μαλλον πιο απλά αφού μπορεί την τροχιά να την τεντωσεις να γίνει ευθεία και είναι εύκολο να δεις ότι δεν αλλάζει τιποτα.Ουτε αυτό θα ερωτηθεί βεβαίως αλλά είναι πιο απλό να εξηγηθεί.Δεν παριστάνω τον μάντη αλλά προτιμώ να αφιερώσω χρόνο σε πιο πιθανά ερωτήματα.

Αφού μιλάμε για στροφορμή δείτε εδώ, ειδικά την 4η επανάληψη της φάσης,
όπου φαίνεται ξεκάθαρα η ιδιοπεριστροφή της μπάλας…

Spin όχι αστεία

Θύμιο γράφεις: “Άν η προηγούμενη απόδειξη είναι εκτός πώς αυτή η απόδειξη είναι εντός”. Μάλλον δεν διάβασες την προηγούμενη απάντησή μου.
Ας το διατυπώσω αλλιώς λοιπόν.
Δίνω μια άσκηση, όπου σε ένα ερώτημα διαπραγματεύεται το έργο δύναμης σε καμπύλη τροχιά. Δεν είπα ότι υπάρχει η απόδειξη στο βιβλίο και ότι ο μαθητής ωφείλει να την γνωρίζει! Αν ήταν απόδειξη του βιβλίου, δεν θα υπήρχε λόγος να την ζητήσω σε άσκηση.
Το αν αυτό είναι ένα πιθανόν θέμα εξετάσεων Κωνσταντίνε, προφανώς δεν με απασχολεί. Δεν έβαλα το θέμα στις εξετάσεις, ούτε είμαι μέλος της ΚΕΕ 🙂 που θα βάλει θέματα.
Ούτε όμως ποτέ επεδίωξα να “πιάσω θέματα”!!!
Αν κάποιος παρακολουθεί τις αναρτήσεις μου θα δει ότι απέχουν πολύ από το ύφος και το στυλ των θεμάτων των τελευταίων χρόνων. Αλήθεια πιστεύει κάποιος ότι δεν έχω καταλάβει, τόσα χρόνια, ποιες προδιαγραφές έχουν τα Δ κυρίως θέματα; Ή νομίζει κάποιος ότι δεν μπορώ να γράψω Δ θέμα υπερπαραγωγή, ώστε να έχει πολύ μεγάλη “ζήτηση” αφού θα προσπαθεί να πιάσει το θέμα;;;
Να πω τέλος, ότι προφανώς ΔΕΝ επέβαλα σε κάποιον να διδάξει το παραπάνω θέμα… Το τι διδάσκει ο κάθε συνάδελφος είναι δική του επιλογή και ευθύνη…

Γεια σου Διονύση, πολύ όμορφη και πολύ χρήσιμη ανάρτηση.

Καλό απόγευμα Παύλο.
Σε ευχαριστώ.

Διονύση συμφωνώ η ανάρτηση είναι άριστη απλώς είπα για το συγκεκριμένο ερώτημα ότι εκτιμώ ότι δεν αποτελεί πιθανό θέμα εξετάσεων χωρίς αυτό να σημαίνει ότι βλάπτει να το διαβάσει ένας μαθητής ειδικά θετικής.Απλως εγώ σε μικτό ακροατήριο δεν δείχνω τέτοιους υπολογισμους

Καλησπέρα Διονύση.
Εξαιρετική άσκηση.

Καλημέρα Κωνστανίνε. Κατανοητόν.
Καλημέρα και καλή βδομάδα Χριστόφορε. Χαίρομαι που σου άρεσε.

Διονύση, καλημέρα. Η ανάρτησή σου «τα έχει όλα και συμφέρει».
Πράγματι, αναδεικνύει πολλά «λεπτά» ζητήματα που συνήθως μας διαφεύγουν κατά τη διδασκαλία, ενώ οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι.
(επ’ ευκαιρία της επικοινωνίας μας: για τον «ημίθεο» Σαββόπουλο διαβάζω απίθανα πράγματα, ο καθένας βλέπει ότι θέλει και αυτό δεν είναι κακό κατ’ αρχήν, αλλά ας αφήνουν και τους υπόλοιπους να κάνουν το ίδιο).