Τσαγλιώτης Νεκτάριος

Αγαπητέ Διονύση καλημέρα

Πολύ ωραία και ευρηματική η ιδέα πάνω στην οποία στηρίζεται το σενάριο της άσκησης! Το μεταβατικό φαινόμενο που περιγράφεται είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον, με πλούσιο φυσικό και μαθηματικό περιεχόμενο, αν και φυσικά ξεφεύγει από τα λυκειακά όρια.

Θα ήθελα, ωστόσο, να κάνω μια μικρή παρατήρηση, ώστε η εκφώνηση να είναι πλήρως συνεπής από φυσική άποψη.

Έστω (xy) το οριζόντιο επίπεδο της αρχικής κυκλικής τροχιάς. Κατά τη μετάβαση σε κυκλική τροχιά μεγαλύτερης ακτίνας, το σώμα αναγκαστικά ανέρχεται, αφού το νήμα έχει σταθερό μήκος. Επομένως, η ταχύτητά του αποκτά κατακόρυφη συνιστώσα (το διάνυσμα της ταχύτητας δεν ανήκει πλέον στο επίπεδο (xy)) και η τροχιά του παύει να βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο. Συνεπώς, η ασκούμενη δύναμη δεν μπορεί να παραμένει ταυτόχρονα οριζόντια και παράλληλη στη στιγμιαία ταχύτητα, όπως απαιτεί η εκφώνηση.

Μια πιθανή λύση για την άρση της ασυνέπειας θα ήταν να διευκρινιστεί ότι η ασκούμενη δύναμη είναι αρχικά οριζόντια και παράλληλη στη στιγμιαία ταχύτητα του σώματος, ενώ κατά τη μεταβατική κίνηση παραμένει απλώς οριζόντια.

Ευχαριστώ πολύ για το σχολιασμό και την πρόταση Μιλτιάδη.
Έκανα την παρέμβαση που πρότεινες.

Πολύ όμορφη άσκηση!
Πιστεύω ότι η αλλαγή μπορεί να γίνει με οριζόντια δύναμη, αρκεί ο φορέας της να μην περνάει από τον άξονα ΚΟ. Η εξήγηση με αδρανειακές δυνάμεις φυγόκεντρο και Euler.

Καλημέρα Διονύση.
Ωραίο θέμα για εξέταση …διαφόρων…!
Καλή Κυριακή

Καλημέρα Διονύση και Παντελή.
Ωραίο θέμα που όπωε λέει ο Παντελής εξετάζει πολλά και σηκώνει πολλά. Με ψυχραιμία αν δεν φοβηθεί κάποιος με το σχήμα γίνεται σιγά σιγά προσβάσιμο.

Καλό απόγευμα Παντελή και Χρήστο και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Nαι Διονυση ειναι δεδομενο στην ασκηση οτι η αρχικη θεση ειναι θεση ασταθους ισορροπιας και ετσι μπορει ο αναγνωστης να συνεχισει να λυνει την ασκηση.To εγραψα και πριν. Aν οντως αυτο το δεδομενο ισχυει στην πραγματικοτητα,και οχι απλως ως υποθεση της ασκησης,τοτε το προβλημα ειναι καλως τεθέν. Αν δεν ισχυει όχι. Εσυ ομως που δινεις αυτο το δεδομενο εισαι πεπεισμενος οτι ισχυει; Το εχεις τσεκαρει με καποιο τροπο ή απλως το δινεις ως δεδομενο, διοτι κατα την γνωμη μου δεν ειναι προφανες. Αν η αρχικη θεση ειναι θεση ευσταθους ισορροπιας,τοτε μολις το εκτρεψεις λιγο,αυτο θα γυρισει παλι πισω και ας δινεις εσυ οτι θα φτασει στο Β.

Kαλησπερα Διονύση,Παντελή και Χρήστο. Διονυση ωραια ασκηση και δυσκολη. Νομιζω οτι θα μπορουσε καποιος να ρωτησει απο που προκυπτει οτι η θεση Α ειναι θεση ασταθους ισορροπιας οπως η θεση 1 του σχηματος που βαζω,ωστε με μια μικρη εκτροπη να μην γυρισει πισω αλλα να κινηθει οντως προς την θεση Β,ή πιο γενικα απο που προκυπτει οτι δεν υπαρχει πριν την θεση Β ενα μεγιστο δυναμικης ενεργειας (ελατηριο+βαρυτητα),υψηλοτερο απο την δυναμικη ενεργεια στην θεση Α. Αν συμβαινει κατι τετοιο,τοτε το σωμα δεν θα φτασει στην θεση Β ποτέ. Ναι μεν μπορει κανεις να αγνοησει αυτες τις παρατηρησεις και να λυσει κανονικα το προβλημα,αλλα αν κατι τετοιο ισχυει,δεν ξερω αν τοτε το προβλημα μπορει να θεωρηθει καλως τεθεν. Σκεψου ενα προβλημα βασισμενο στο σχημα που βαζω εδω απο κατω,οπου με μια μικρη εκτροπη απο την θεση ισορροπιας 1,το σωμα αφηνεται ελευθερο και ζητειται η ταχυτητα του σε μια θεση χαμηλοτερα της 1,αλλα δεξιοτερα της 5. Ενα ΑΔΜΕ ή ΘΜΚΕ ,οτι επιθυμει κανεις,δινει ευκολα την απαντηση,μονο που εκει οπου ζητειται η ταχυτητα,το σωμα δεν θα φτασει ποτε. Ειναι καλως τεθεν το προβλημα; Kατα την γνωμη μου στην δικη σου περιπωση θελει αποδειξη οτι το σωμα θα φτασει στην θεση Β.
https://i.ibb.co/WWxh8rBx/images-2-1792932542-4301.png

Επανέρχομαι με ερώτημα που έθεσα στο gemini και μια “συζήτηση” που ακολούθησε μετά την πρώτη του απάντηση. Το ερώτημα:

https://i.ibb.co/KcHh12J9/08.png
Και όλη η συζήτηση, σε ένα αρχείο pdf, περί:
Ανάλυση Ευσταθούς Ισορροπίας 

Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Δεν βλέπω πού μπορεί να ισχύουν τα όσα αναφέρεις στο σχόλιό σου.
Πρώτα – πρώτα το σώμα θα φτάσει στη θέση Β, αφού έτσι “δίνει η εκφώνηση”!
Δεν ζητάμε να διερευνηθεί αν θα φτάσει. Αυτό είναι δεδομένο.
Επί της ουσίας όμως.
Η εκφώνηση δίνει την αρχική θέση “στη θέση Α, στην κορυφή μιας λείας ημισφαιρικής επιφάνειας, ακτίνας R=0,5m, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, το οποίο έχει το φυσικό μήκος του l0=12,5cm.”
Δεν είναι φανερό ότι ισορροπεί στην κορυφή του ημικυκλίου; Είναι φανερόν.
Με οποιοδήποτε ελατήριο θα φτάσει στο Β; Προφανώς όχι, αλλά δεν έδωσα μια σταθερά ελατηρίου, οπότε να απαιτείται έλεγχος ότι θα φτάσει στο Β!
Έδωσα ότι φτάνει και ζήτησα τη σταθερά!!!
Αν έδινα μια σταθερά Κ=300Ν/m τότε θα μπορούσε να φτάσει το σώμα σε μια θέση Ζ όπου η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου να ήταν ίση της μείωσης της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, όπου θα μηδενιζόταν τότε η κινητική του ενέργεια.
Και τότε αυτή η θέση θα μπορούσε να ήταν πριν το Β…
Τώρα όμως είναι δεδομένο ότι: Η αρχική θέση είναι θέση μέγιστης βαρυτικής δυναμικής ενέργειας (ασταθής ισορροπία), οπότε μόλις εκτραπεί θα ολισθήσει πάνω στην επιφάνεια και μετά από λίγο περνάει από το Β, εξ υποθέσεως.

Καλημερα Διονύση. Εντάξει επείσθην. Ευχαριστω πολυ για την απαντηση.

Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Επειδή πείστηκες με βάση τα μαθηματικά, τα οποία δεν είναι και ο ευκολότερος τρόπος απόδειξης, να αναλύσω λίγο περισσότερο το πρώτο μου σχόλιο και τη σκέψη μου, όταν έγραφα την άσκηση (όταν προφανώς δεν είχα κάνει τις μαθηματικές αποδείξεις που παρέθεσα, ούτε είχα ρωτήσει την ΑΙ).
Αν υποθέσουμε ότι το ελατήριο έχει σταθερά k=1N/m (είχα φανταστεί ένα πολύ μαλακό λάστιχο…), τότε δεν υπάρχει περίπτωση να συγκρατήσει ένα σώμα των 2kg αν εκτραπεί από την αρχική του ισορροπία. Το σώμα θα γλιστρήσει.
Αν αντίθετα έχουμε ένα πολύ σκληρό ελατήριο π.χ, k=1000N/m, ακόμη και όταν δεν υπάρχει η επιφάνεια, (απλά το ελατήριο ήταν κατακόρυφο), η μέγιστη επιμήκυνσή του θα ήταν 2cm, οπότε αν το σώμα κινηθεί στην επιφάνεια, θα έχουμε ακόμη μικρότερη επιμήκυνση και δεν πρόκειται το σώμα να φτάσει στο Β.
Αλλά τότε με k που να αρχίζει να αυξάνεται από πολύ μικρές τιμές. για κάποια τιμή το σώμα θα φτάσει στο Β και για κάποια μικρότερη τιμή το σώμα θα έχει και ταχύτητα.
Οπότε η άσκηση στήθηκε στη λογική, βρείτε το k, άσκηση η οποία αν είμαστε στη δεκαετία του 70 θα είχε μόνο αυτό το ερώτημα… Τα υπόλοιπα ήταν για να φτάσουμε στην απάντηση της μίας αυτής ερώτησης…

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν οι δυνάμεις που ασκούνται σε έναν φορτισμένο κύβο τοποθετημένο πάνω σε μονωτικό επίπεδο, όπως παρουσιάζονται εδώ: Ένα φορτίο ρυθμίζει την τριβή – Υλικό Φυσικής – Χημείας.

Γενικά: Όταν ένα ηλεκτρισμένο σώμα βρίσκεται κοντά σε κάποιο ουδέτερο, ασκούνται ελκτικές δυνάμεις μεταξύ τους, λόγω ηλέκτρισης του ουδέτερου σώματος με επαγωγή.

Καλημέρα Διονύση.
Πέραν των άλλων θαυμάζω την εγκράτεια σου,
να μη «φορτώνεις» τα μοντέλα με πλήθος ερωτήσεων,
αλλά να θέτεις το στόχο σου καθαρό προς τον …εξεταζόμενο λύτη.
Συγχρόνως δίνεις στους σχολιαστές «βήμα» για επί πλέον «φορτία»
και αναφέρω τη σύμπτωση σχετικά… χθες είχα παρέα τον εγγονό και
παίζαμε με ένα spinner, …το κρατούσε περιστρεφόμενο οριζόντια με το δείκτη και τον αντίχειρα οπότε του είπα να το γυρίσει κατακόρυφα και ο μπαγάσας
μου λέει…ξέρω ξέρω θα νοιώσω αντίδραση, το είχαμε κάνει!
Είπαμε ολίγα…και καταλήξαμε πως οι αλλαγές- μεταβολές χρειάζονται δράση…
Να είσαι πάντα καλά

Καλό απόγευμα Παντελή και σε ευχαριστώ.
“ο μπαγάσας μου λέει…ξέρω ξέρω θα νοιώσω αντίδραση, το είχαμε κάνει!”
Να τον χαίρεσαι τον εγγονό!!!

Καλησπέρα Διονύση. Όμορφη ιδέα σε κάτι ξεχασμένο και δυστυχώς παραγκωνισμένο…
Φυσικά το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο και της διαδρομής.
Να είσαι καλά!

Καλό απόγευμα Μίλτο και σε ευχαριστώ.
Έτσι όπως το λες. Κάτι “ξεχασμένο και παραγκωνισμενο”!

Καλησπέρα Διονύση και Μίλτο.
Πολύ καλή. Είμαι στις ενέργειες, οπότε θα την κάνω σίγουρα με χρήση ΘΜΚΕ για να τους πείσω γιατί το έργο βγαινει μηδέν.
Σαν απάντηση γ θα έβαζα ότι το έργο είναι μηδενικό.

Καλημέρα Διονύση. Όμορφη και για όλους τους μαθητές.
Τη χρονική στιγμή t = 5s, η γωνιακή ταχύτητα είναι ω = 0, αλλά η κλίση της, dω/dt διάφορη του 0. Άρα δεν έχουμε κεντρομόλο επιτάχυνση, δεν έχουμε στροφορμή, αλλά έχουμε ρυθμό μεταβολής ω και ρυθμό μεταβολής στροφορμής!
Υ.Γ. Με τα νέα βιβλία απαγορεύεται το dω/dt. Θα γράφουμε Δω/Δt (Δt πολύ μικρό) 😯

Καλημέρα Διονύση. Όμορφη και διδακτική όπως πάντα!

Καλησπέρα Ανδρέα και Γιώργο και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα γνωρίζεις την προσωπική μου θέση, ότι πρέπει να μάθει να διακρίνει ένας μαθητής, τη διαφορά μεταξύ της μέσης τιμής και της στιγμιαίας τιμής ενός ρυθμού μεταβολής. Και το να χρησιμοποιούμε τον ίδιο συμβολισμό, καθόλου δεν βοηθά το στόχο αυτό.
Από κει και πέρα, αναζητείτε ο … υπαίτειος, ή καλύτερα ζητείται …διόρθωση!
(Προφανώς δεν θα συμβεί τίποτα από τα δύο…)

Καλησπέρα Διονύση.
Διδακτική και τίμια για όλους τους μαθητές. Θα συμφωνησω με την παρατήρηση του Αντρέα η οποια καλο ειναι να τονιστεί αν γίνει από κάποιον συνάδελφο.

Καλημέρα Χρήστο και καλή βδομάδα.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και συμφωνώ μαζί σου, όπως και με τον Ανδρέα προφανώς, για το τι συμβαίνει τη στιγμή μηδενισμού της γωνιακής ταχύτητας.
Είναι το ίδιο πρόβλημα που συναντάμε από την Α΄ Λυκείου μελετώντας μια κατακόρυφη βολή. Τι συμβαίνει στο μέγιστο ύψος;
Η ταχύτητα μηδενίζεται. Η επιτάχυνση;

Καλημέρα Διονύση.
Ωραίο το θέμα.
Για μένα πέρα των άλλων έχει σημασία η συνείδηση της διαφοράς ,
“σταμάτησε στιγμιαία ” με το “ακινητοποιήθηκε”.
Από το διάγραμμα ω-t φαίνεται ότι την t=5s για το δίσκο ,στιγμιαία η ω=0 αφού για t>5s η ω<0
Χρήσιμη η σύνδεση που κάνεις στο σχόλιο με το ανώτερο ύψος στην κατακόρυφη βολή.(υ=0 αλλά du/dt=a diaforo του 0.)
Καλή εβδομάδα

Καλό απόγευμα Παντελή και σε ευχαριστώ.
Όπως το λες, άλλο το “σταμάτησε στιγμιαία ” και άλλο το “ακινητοποιήθηκε”.

Καλημέρα Ανδρέα.
Σκάλα με απ’όλα ,αλλά χωρίς ανθρώπινο φορτίο .
Ωραία η σχέση της κλίσης από την οποία βγαίνουν “τα πάντα όλα” !
Λείο δάπεδο μ1=0 εφθ τείνει άπειρο ,θ τείνει 90 ,σκάλα κατακόρυφη για να στέκει.
Λείος τοίχος μ2=0 …στέκει και υπό γωνία ,μειούμενη με αύξηση του μ2.
Καλή Κυριακή

Καλημέρα Ανδρέα. Ασχολήθηκες με το πρόβλημα στη γενική του μορφή. Η λύση αυτή όμως μήπως προϋποθέτει ότι οι δύο τριβές φτάνουν ταυτόχρονα τις οριακές τιμές τους;
Από τις εξισώσεις σου προκύπτει
ΤΒ = W/2 – TA εφθ 
μια εξίσωση με δυο αγνώστους.
Από αυτή την εξίσωση η απάντηση βγαίνει αν θεωρήσουμε ότι στην ελάχιστη γωνία οι δύο τριβές είναι ταυτόχρονα οριακές.
Έχει αποδειχθεί ότι πράγματι συμβαίνει αυτό;
Στη στατική ισορροπία με δύο τραχιές επαφές δεν είναι γενικά αυτονόητο ότι και οι δύο τριβές γίνονται ταυτόχρονα μέγιστες.
Τι γνώμη έχεις;

Παντελή σε ευχαριστώ πολύ.

Πράγματι στις ειδικές περιπτώσεις που αναφέρεις ελέγχεται με επιτυχία η ισχύς της γενικής σχέσης για την εφθ.

Επίσης ενδιαφέρουσα είναι η περίπτωση όπου μ1μ2=1. Σε αυτή την περίπτωση προκύπτει εφθ=0. Δηλαδή η σκάλα ισορροπεί ανεξάρτητα από το πόσο μικρή είναι η γωνία με το έδαφος!

Ανδρέα σε ευχαριστώ πολύ.

Η παρούσα ανάρτηση δεν εξετάζει το γενικό πρόβλημα της ισορροπίας της σκάλας. Προσδιορίζει τη συνθήκη ισορροπίας της, με την προϋπόθεση ότι αναπτύσσεται στατική τριβή στη σκάλα και από το δάπεδο και συγχρόνως από τον τοίχο.

Στην απόδειξη δεν θεωρήθηκε ότι οι δύο τριβές είναι οριακές. Χρησιμοποιήθηκαν οι ανισότητες της στατικής τριβής.

Καλημέρα.
Διονύση δυνάμεις ανατροπής και όχι αποτροπής.
Τα δεδομένα. F ιδια φορά με W.
ισορροπεί οριακά
Επομένως η δύναμη επαφής υποχρεούται να εχει διεύθυνση κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω για να ισχύει ΣF =0.
Δηλ δεν πρέπει να εμφανίζεται οριζόντια συνιστώσα της δύναμης επαφής ανεξάρτητα αν το τρίποδο ειναι λείο ή τραχύ.

Καλημέρα Διονύση.
Ωραία!
Εμείς στην ουσία τη ροπή του W θέλουμε να εξουδετερώσουμε
και αυτή είναι δεδομένη ως προς Β,οπότε τι με νοιάζει ο αριστερός τρίποδας.
Ο δεξιός όμως ανάλογα αυξομειώνει τη ροπή του W άρα και τη δική μας.
Ως προς την τριβή ,ίσως να τη σχεδίαζα αλλά θα μου έβγαινε μηδενική. Αν όμως την F την έβαζες έστω και λίγο πλάγια τότε Τ όχι 0
Ο Γιώργος το είπε καλλίτερα.
Τώρα να πω αυτό που παρατηρούσα και παρατηρώ μέσω της σχέσης μου με τα εγγόνια ,…πολλάκις βγάζουν τη σωστή απάντηση αλλά δυσκολεύονται να τεκμηριώσουν γραπτώς.

Καλό απόγευμα Γιώργο και Παντελή και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Πολύ σωστά τα είπατε και οι δύο!

Καλησπέρα Διονύση. Ωραίο β΄θέμα, αλλά και πρακτικό. Οι ελαιοχρωματιστές το ξέρουν από εμπειρία και τοποθετούν τη σανίδα με τα τρίποδα σε ίσες αποστάσεις από τα άκρα. Γιατί στην τρίτη περίπτωση, υπάρχει ασφάλεια δεξιά, αλλά αν ξεχαστεί και πάει πολύ αριστερά ή άκρα αριστερά τι θα πάθει;

Καλό απόγευμα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Σε ίσες αποστάσεις και κοντά στα άκρα!

Αντρέα, και που ‘σαι ακόμα.

Ντίνο το σχόλιό σου ταιριάζει απόλυτα με αυτό που αποδίδεται στον Αϊνστάιν: “Μόνο δύο πράγματα είναι άπειρα: το Σύμπαν και η ανθρώπινη αφέλεια, και δεν είμαι σίγουρος για το πρώτο.”

Καλημέρα Διονύση.
“Μαρτύρησε” το μοντέλο στην φυσική ανάκρισή σου!
Καλή εβδομάδα και προσοχή στις σκάλες …οι ηλικιωμένοι .

Καλημέρα και καλή βδομάδα Παντελή.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Οι σκάλες πάντα είναι επικίνδυνες, αλλά όταν αυξάνεται ο χρόνος ζωής, η επικινδυνότητα αυξάνεται…

Διονύση μια απορία. Εμπειρικά λειτουργώντας άνευ δυνάμεων. Αν η σκάλα μου στηρίζεται στο έδαφος ποσώς με ενδιαφέρει αν ο τοίχος έχει ή δεν έχει τριβή, στον τοίχο η σκάλα μόνο πατάει δεν έχει τάση προς ολίσθηση. Καλά τα λέω ή θα τσακιστώ;

Καλό απόγευμα Άρη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Στην απάντηση έχω γράψει:
https://i.ibb.co/PZFvLTbj/2026-10-12-152836.png
Αν υπάρχει τριβή με το έδαφος, η δοκός είναι δυνατόν, να ισορροπεί.
Γιατί αυτή η διατύπωση; Γιατί ανάλογα με τη γωνία και τον συντελεστή οριακής τριβής με το έδαφος, μπορεί να εμφανιστεί τριβή και με τον τοίχο. Αν το κάτω άκρο τείνει να γλιστρήσει, τότε το πάνω άκρο της δοκού, τείνει να κινηθεί προς τα κάτω και θα εμφανιστεί και εκεί τριβή…

Διονύση για κοίτα την απάντηση που μου έδωσε η ΑΙ. Στην αρχή έλεγε ότι το πρόβλημα είναι αόριστο αλλά σαν συμπέρασμα έδωσε αυτό. Πάντως και η δική μου αίσθηση είναι αυτή που όμως δεν αποδεικνύεται, ενω το να πείς υπάρχει τριβή και στον κατακόρυφο τοίχο φαίνεται πιό λογικό. Ισως δεν αξίζει τον κόπο πάντως. Ειδικά αν βάλεις τραχύ τοίχο σε μαθητές είναι σίγουρο ότι θα βάλουν τριβή και στον τοίχο.

“Αν η δοκός ισορροπεί σταθερά μόνο με την οριζόντια τριβή και την κάθετη αντίδραση του τοίχου, η τάση ολίσθησης στον τοίχο είναι μηδενική. Επομένως, η στατική τριβή στον κατακόρυφο τοίχο είναι μηδέν παρόλο που ο τοίχος είναι τραχύς.”

Καλησπέρα σε ολους.
Διονύση όσες φορές και να κάνουμε τη σκάλα πάντα θα φέρνει ερωτήματα, όπως αυτό του Άρη το οποίο απαντήθηκε.
Να θυμίσω μία παλαιότερη δική μου εδώ όπου υπάρχει τριβή και στους δύο τοίχους.
Αξίζει να διαβάσει κάποιος τα σχόλια που με την ευκαιρία παρεμβάλονται κάποια άλλα σχόλια του Βαγγέλη Κορφιάτη με αφορμή πάλι μία άλλη ανάρτηση.

Καλησπέρα σε όλους. Το πρόβλημα της σκάλας που ισορροπει γερνοντας πάνω σε όχι λείο τοίχο ειναι ενα προβλημα αοριστιας όπου οι συνθήκες ισορροπιας δεν αρκούν για να προσδιόριστουν οι δυνάμεις πανω στην σκαλα.Αυτες εξαρτώνται συν τοις αλλοις απο τον τρόπο με τον οποίον τοποθέτηθηκε η σκάλα στην θεση της.
https://www.researchgate.net/publication/253314921_Statics_of_a_ladder_leaning_against_a_rough_wall

Καλησπέρα και πάλι Άρη, καλησπέρα Χρήστο.Χρήστο με μια πρόχειρη ματιά που έριξα στην δική σου ανάρτηση, βλέπω να μελετάς την περίπτωση που και οι δύο τριβές είναι οριακές. Στην περίπτωση αυτή, μπορείς να γράψεις εξισώσεις χρησιμοποιώντας και τους συντελεστές οριακής τριβής.Νομίζω όμως ότι αν φύγουμε από την οριακή κατάσταση και πάμε δίνοντας τους συντελεστές τριβής και λέγοντας ότι η δοκός ισορροπεί, το πρόβλημα δεν επιλύεται. Θα έχουμε 3 εξισώσεις από την ισορροπία και θα ψάχνουμε 4 αγνώστους. Να το πω αλλιώς, δεν υπάρχει ένα μόνο ζευγάρι τιμών για τις στατικές τριβές, που εξασφαλίζει ισορροπία. Υπάρχουν άπειρα… Δυο περιοχές τιμών και μάλιστα το μέτρο της μιας τριβής εξαρτάται από το μέτρο της άλλης!Άρα Άρη η Τ.Ν. δίκιο έχει με την αρχική της απάντηση, απατώντας στο παραπάνω ερώτημα.Πάμε τώρα στην ουσία της δεύτερης απάντησης (που επίσης έχει δίκιο!!!).Η στατική τριβή δεν είναι δεδομένη. Ένα σώμα, για παράδειγμα, το οποίο ηρεμεί σε τραχύ οριζόντιο έδαφος, δεν δέχεται στατική τριβή, αφού κανένας “δεν την προκάλεσε” για να εμφανιστεί! Αν κάποιος ασκήσει μια δύναμη που τείνει να επιταχύνει το σώμα… τότε κάνει την εμφάνισή της.Αν κρατώ μια σκάλα λοιπόν σε κατακόρυφη θέση, σε οριζόντιο τραχύ έδαφος, τότε η τριβή είναι μηδενική. Αν αρχίσω σιγά – σιγά να την γέρνω για να την φέρω σε επαφή με τον τοίχο, τότε εμφανίζεται στατική τριβή, η οποία δεν την αφήνει να ολισθήσει στο έδαφος. Τότε όμως όταν θα έρθει σε επαφή με τον τοίχο, το ανώτερο σημείο της, λόγω ισορροπίας δεν τείνει να κινηθεί, οπότε δεν υπάρχει κανένας λόγος να εμφανιστεί τριβή, στο σημείο αυτό.Η δοκός ισορροπεί λόγω της τριβής με το έδαφος. Και τότε δεν έχει καμιά σημασία αν ο τοίχος είναι λείος ή όχι.Τριβή στο πάνω άκρο θα εμφανιστεί, μόνο αν η τριβή με το έδαφος γίνει τριβή ολίσθησης. Δηλαδή όταν η οριζόντια δύναμη που απαιτείται για να μην μετακινηθεί, να μην ολισθήσει, το κάτω άκρο της σκάλας στο έδαφος, είναι μεγαλύτερη από την οριακή τριβή μεταξύ σκάλας και εδάφους.Τότε θα εμφανιστεί η τριβή στο πάνω άκρο της σκάλας, αν ο τοίχος δεν είναι λείος και μπορεί ο συνδυασμός των δύο τριβών να οδηγήσει σε ισορροπία.

Καλησπέρα Κωνσταντίνε και σε ευχαριστώ για την παρέμβαση.
Γράφαμε μαζί…

Διονύση πως το αντιλαμβάνομαι εγώ απλοϊκά. Αν η ισορροπία εξασφαλίζεται από την στατική τριβή με το έδαφος δεν υπάρχει τριβή με τον τοίχο. Αν η στατική τριβή με το έδαφος δεν επαρκεί για ισορροπία τότε τείνει να ολισθήσει η δοκός στον τοίχο και εμφανίζεται τριβή οπότε το πρόβλημα είναι αόριστο.

Διονύση καλησπέρα.
Όπως λες το πρόβλημα είναι αόριστο καθώς υπάρχουν 3 εξισώσεις για 4 αγνώστους. Μόνο στην περίπτωση που τείνει να γλιστρησει και απο τα δύο σημέια και δίνοντας τιμές το σύστημα είναι επιλύσιμο. Αυτό είχε γράψει και ο Βαγγέλης. Ο λογος που έδωσα τον σύνδεσμο είναι για τα σχόλιά του.

Μεταφέρω το σχόλιο του Βαγγέλη.

Καλημέρα Χρήστο
Τελικά η απορία θα γίνει ένσταση.
Κατ’ αρχάς το πρόβλημα το λύνεις σε κατάσταση ισορροπίας της ράβδου.
Επομένως, η τριβή στα σημεία Α και Γ είναι στατική.
Στην οριακή κατάσταση, που επίκειται ολίσθηση, τουλάχιστον σε ένα από τα δύο η στατική τριβή θα έχει την οριακή της τιμή.
Όταν έχουμε δύο σημεία στα οποία ασκείται στατική τριβή και στο ένα έχει πάρει την οριακή της τιμή δεν είναι βέβαιο ότι την έχει πάρει και στο άλλο.
Ως παράδειγμα θεώρησε την σκάλα του σχήματος, η οποία παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0.6 τόσο με τον τοίχο όσο και με το δάπεδο.
https://i.ibb.co/9kztNBSF/Screenshot-1-7.png

Αν για την Τ2 ισχύει ότι  Τ2 = μ Ν2 για την Τ1 ισχύει ότι Τ1 = 5/18 μ Ν1.
 
Βαγγέλη καλησπέρα
Αυτό που θεωρώ είναι αυτό αυτό που γράφει και ο Δημήτρης παραπάνω, ότι δηλ. η ράβδος βρίσκεται στα πρόθυρα κίνησης όταν επίκειται ολίσθηση και στα δύο σημεία επαφής Α και Γ γι΄αυτό και παίρνουν την οριακή τους τιμή.  
Στο πρόβλημα που δίνεις αν κατάλαβα καλά μπορεί στο ένα σημείο να έχει πάρει τη μέγιστη τιμή του αλλά στο άλλο όχι. Μια τέτοια κατάσταση όμως δεν θα είναι ισορροπίας; Εννοώ ότι δεν είναι η ακραία κατάσταση. Δηλ. παρόλο που στο ένα σημείο έχουμε Τ=μΝ, στο άλλο σημείο μη έχοντας πάρει την οριακή του τιμή όπως γράφεις στο παράδειγμα, η ράβδος θα ισορροπεί κανονικά. Η ακραία κατάσταση δεν θα είναι όταν και στα δύο σημεία έχουμε Τ = μΝ και τότε επίκειται ολίσθηση και στα δύο σημεία;

Λύση Βαγγέλη
Καλησπέρα Δημήτρη , καλησπέρα Χρήστο.
Η απάντησή σας δεν με έπεισε αλλά τελικά έχετε δίκιο.
Μάλλον η θητεία μου στο τμήμα Μαθηματικών φρενάρει ( και μάλλον καλά κάνει) την φυσική μου διαίσθηση.
Η βιβλιογραφική αναφορά του Δημήτρη με έβαλε σε προβληματισμό.
Για κάθε θέση του ανθρώπου οι εξισώσεις ισορροπίας αποτελούν ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 4 αγνώστους τα Ν1, Ν2, Τ1, Τ2.
Θεωρούμε ως παράμετρο το Ν1 και επιλύουμε το σύστημα ως προς
Τ1, Ν2, Τ2.
Έτσι οι παράμετροι του προβλήματος είναι δύο: Η Ν1 και το x.
Οι ανισώσεις Τ1≤μ Ν1 και Τ2≤μ Ν2 ορίζουν την κίτρινη περιοχή στον χώρο των παραμέτρων.

https://i.ibb.co/KpYM7Vpp/Screenshot-2-2.png

Για οποιαδήποτε τιμή του x με x>0.2α υπάρχει λύση του συστήματος με Τ1< μ Ν1 και
Τ2< μ Ν2.
Επομένως, η ελάχιστη τιμή του x για την οποία δεν ολισθαίνει είναι 0,2 α.

Καλημέρα Άρη, καλημέρα Χρήστο.
Άρη ωραία η σύνοψή σου. Νομίζω ότι το ίδιο συμπέρασμα βγαίνει και από το τελευταίο μου, πιο εκτενές, σχόλιο.
Χρήστο πολύ κατατοπιστική η τότε παρέμβαση του μακαρίτη του Βαγγέλη Κορφιάτη και τα τα σχόλια που μας μετέφερες…

Καλησπέρα Διονύση. Όμορφη και πλήρης διερεύνηση.
Και γιαυτό προσέχουμε όταν ακουμπάμε σκάλες σε δέντρα. Ευτυχώς έχουν βγει τρίποδες
https://i.ibb.co/FLGPw8J8/image.jpg
Για σιγουριά
https://i.ibb.co/ds38j8mR/image.jpg

Καλημέρα Ανδρέα.
Ωραία …μου θύμισε την πειραματική, με τη ράβδο στηριγμένη
στα δυο άκρα της οριζόντια, πάνω στους δυο δείκτες των χεριών μας.
Κινούμε τον αριστερό δείκτη προς τα δεξιά και η ράβδος μένει ακίνητη
μέχρι κάποια στιγμή που βλέπουμε να ακινητοποιείται ο αριστερός δείκτης ως προς τη ράβδο , ενω αυτή να ολισθαίνει στον δεξιό δείκτη και “τούμπαλιν” . Η τριβή …ρυθμιστής ! Τελικά οι δυο δείκτες θα συναντηθούν στο μέσον της ομογενούς ράβδου (cm).
Άρεσε όταν το κάναμε με τα παιδιά ,από την Α΄ νομίζω (χωρις ροπες)
Καλή εβδομάδα

Παντελή σε ευχαριστώ.

Πράγματι από αυτή την επίδειξη που περιγράφεις εμπνεύστηκα το θέμα.

Μια προσομοίωση υπάρχει εδώ: Μια ραβδος στηριζεται πάνω σε δύο δαχτυλα.

Βέβαια, αρχικά τα δάχτυλα πρέπει να βρίσκονται σε διαφορετική αποσταση από τα άκρα της ομογενούς ράβδου, όπως αποδεικνύεται και στην παρούσα ανάρτηση.

Καλησπέρα Ανδρέα. Ωραίο φαινόμενο. Όπως και αυτό που περιέγραψε ο Παντελής.
Όταν λες αυξάνουμε ταυτόχρονα, τι εννοείς;
Αυξάνονται με τον ίδιο ρυθμό; Αν αυξάνονται με διαφορετικό ρυθμό το αποτέλεσμα είναι το ίδιο;

Ανδρέα σε ευχαριστώ.

Δεν μπόρεσα να εντοπίσω κάποια αναφορά μου σχετικά με ταυτόχρονη αύξηση της δύναμης.

Ωστόσο το ερώτημά σου είναι εύστοχο:

“Αυξάνονται [τα μέτρα των δυνάμεων] με τον ίδιο ρυθμό; Αν αυξάνονται με διαφορετικό ρυθμό το αποτέλεσμα είναι το ίδιο;”

Απάντηση:

Επειδή η ράβδος μένει ακίνητη, οι δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο από τα σώματα είναι αντίθετες.

Άρα και οι δυνάμεις που δέχονται τα σώματα από τη ράβδο είναι αντίθετες.

Συγχρόνως, επειδή και τα σώματα μένουν ακίνητα, κάθε στιγμή οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα είναι επίσης αντίθετες.

Καλησπέρα Διονύση. Όμορφη. Ιδαίτερα μου άρεσε η απεικόνιση της κλίσης με γωνιούλες. Δεν κάνω Α΄. Ο συνάδελφος προσπάθησε να κάνει, πριν μπει στην ύλη, λίγο κλίση, λίγο ρυθμό μεταβολής έτσι γενικά. 7 στους 10 δεν…
Η άσκησή σου θα μπορούσε να βοηθήσει. Δύσκολα τα πράγματα όμως.

Καλημέρα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Στην Α΄Λυκείου για “να γυρίσει ο Ήλιος θελει δουλειά πολλή”…

Καλημέρα Διονύση.
Γνωρίζοντας πως οι απαντήσεις σου δεν αφήνουν κενά κατανόησης,
περίμενα να δω για το t3>80 κάποιο (γιατί;)που συνηθίζεις να θέτεις.
Να υποθέσω πως ο λύτης …το βλέπει στο σχήμα .
Πάντως επειδή κάπως θα “τριφτεί” στη συνέχεια με τις ομοιότητες είπα να το δεί όχι μόνο “δια γυμνού οφθαλμού”…
https://i.ibb.co/67RfNw4k/image.png
χ/ψ=z/k>1…x>ψ…t3-60 >100-t3…2t3>160….t3>80
Τώρα θα μου πεις κι εγώ το z/k>1 “δια γυμνού οφθαλμού” δεν το είδα;
Να είσαι καλά

Καλημέρα Παντελή και καλό ΣΚ.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την εναλλακτική οδό, αλλά προφανώς ο μαθητής θα πρέπει να στηριχθεί στο τι βλέπει “με το μάτι”, αφού είναι και αυτός ένας τρόπος για να απαντήσει σε ανάλογα ερωτήματα. Και στην προσπάθεια με τα όμοια τρίγωνα που έκανες, πάλι σε αποτέλεσμα, με βάση το τι βλέπουμε καταλήγεις.
Ας μην ξεχνάμε ότι μιλάμε για μια πειραματική επιστήμη… Δεν είναι ανάγκη πάντα να κάνουμε αριθμητικούς υπολογισμούς, αλλά ούτε μπορούμε να κάνουμε πάντα γεωμετρικές αποδείξεις.
Αυτό βέβαια μας επιτρέπει να δίνουμε περιγραφικές απαντήσεις, σε ερωτήματα όπως τα παραπάνω. Όχι σε ερωτήματα που χρειάζονται βέβαια υπολογισμοί! Έτσι δεν θα μπορούσε κάποιος να θέσει ερώτημα π.χ. πόσο απέχουν τα δυο κινητά τη στιγμή  t1=65s…

Καλημέρα Διονύση .
Ευχαριστώ για την αναλυτική απάντησή σου σε ερώτημα
που έχει σχέση με την οπτική αξιοποίηση διαγράμματος.
Καλό Σαββατοκύριακο

Καλό μεσημέρι Διονύση.
Ωραίο θέμα για να παίξουν με πρόσημα και κατευθύνσεις!
Ενίοτε για να μην πω συνήθως (πέραν του στόχου σου), αφήνεις περιθώρια για προσθήκη ερωτημάτων συμπληρωματικά ή και διαμόρφωσης.
Επί του συγκεκριμένου λοιπόν με ένα …”αν” …
https://i.ibb.co/gsCpyWc/image.png

Καλό απόγευμα Παντελή και σε ευχαριστώ για την προσθήκη και την μελέτη.
Πολύ καλή, αλλά όχι για την γενική παιδεία, της Β΄τάξης, που από ό,τι ακούω, δεν έχει και μεγάλη σχέση με το μάθημα…

Καλό μήνα σε όλους.
Μια ανάρτηση, παίζοντας στα όρια… με τις περικοπές της ύλης.

Καλημέρα Διονύση.
Το iiiβ) κλέβει την παράσταση ,χωρίς να χάνουν την αξία τους τα λοιπά!
Καλό μήνα

Καλό μήνα Παντελή!
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό…

Καλημέρα και καλό μήνα!

Διονυση εχει πολυ ενδιαφέρον η ανάλυση σου. Χρήσιμο είναι να αντιληφθει ένας μαθητης τι γίνεται έστω και ποιοτικά άν δεν έχουμε Στ=0 .

Θα ήθελα να σταθω στην (iii) β . Δεν γίνεται να έχουμε ως δεδομένο ότι ο δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) χωρίς οι δύο ανεξάρτητες κινήσεις να είναι σε συγχρονισμό έτσι ώστε η ταχύτητα του εκάστοτε σημείου επαφής να είναι μηδενικη.

Εχω δει κάτι σενάρια ασκήσεων που υπάρχει νήμα που ειναι τυλιγμένο στο δίσκο (δημιουργεί στην ουσια το αποτέσμα της δύναμης F που έχεις βάλει) και δίνουν το δίσκο να εκτελει σύνθετη κίνηση με την ucm=σταθ. ….

Όλα αυτα λοιπόν όντως βοηθούν στο πώς οι δυνάμεις επιδρουν στην εξέλιξη της κινήσης ενός στερεου , όμως λόγω περικοπών πρέπει να σταματάμε εδώ !

Ερωτήσεις που εμπλεκουν δευτερο νομο Νευτωνα ακόμα και για την μεταφορική κινηση του στερεου εκτιμω ότι πρέπει να αποφευγονται πολύ δε περισσοτερο όταν συνδυάζονται με ρυθμό μεταβολής στροφορμής ενος στερεου σώματος . Ειναι αλλο πράγμα να έχω ένα σώμα στην ακρη ενος νηματος το οποίο είναι τυλιγμένο σε μια τροχαλια και από τα κινηματικα δεδομενα να καλουμε να εφαρμοσω δευρερο νομο του Νεύτωνα για το σώμα αυτό με σκοπο να βρω το μέτρο της τάσης του νήματος !

Καλημέρα σε όλους. Ωραιότατες και οι τρεις Διονύση! Στο δεύτερο “ΕΔΩ” παραπέμπεις σε άλλη ανάρτηση…

Κώστα και Αποστόλη καλό μεσημέρι και καλό μήνα.
Σας ευχαριστώ, τόσο για την τοποθέτηση (Κώστα) όσο και για την επισήμανση για το λάθος λινγκ (Αποστόλη)…

Καλημέρα σε όλους .
Πολύ ωραία Διονύση .

Συνεχίζοντας τον προβληματισμό του Κώστα
στο ii) από που προκύπτει ότι η δύναμη Ν στο Β είναι κατά μέτρο μικρότερη από το βάρος w στο Κ . Μήπως έχω ως δεδομένο την επιταχυνόμενη πτώση και άρα συμπεραίνω Ν< w ;

Τελικά είμαστε στα όρια των περικοπών ή στα όρια του βιβλίου ;

Καλό απόγευμα Μήτσο και σε ευχαριστώ για τον προβληματισμό που καταθέτεις.
Η δικη μου σκέψη είναι η εξής:
Πρέπει ή όχι ένας μαθητής που μαθαίνει τόσο σπουδαία πράγματα στα 12 μαθητικά του χρόνια και λύνει τόσο δύσκολες ασκήσεις κατά την προετοιμασία του για τις εξετάσεις, να μπορεί να απαντήσει στα δύο παρακάτω ερωτήματα;
 Αφήνουμε την σανίδα, πάνω σε ένα λείο οριζόντιο έδαφος, όπως στο σχήμα:
https://i.ibb.co/R47jjkX8/2026-10-01-154806.png
Η σανίδα θα μείνει στη θέση της ή θα πέσει στο έδαφος;
i) Αν η σανίδα μείνει στη θέση της, πώς αυτό δικαιολογείται με βάση τις ασκούμενες δυνάμεις σε αυτήν;
ii) Αν η σανίδα πέσει στο έδαφος, τι συμπέρασμα βγάζετε για τις δυνάμεις που της ασκούνται;

Ναι Διονύση.
Ακριβώς όπως τα λες : Θα έπρεπε να ξέρει να απαντήσει και να δικαιολογήσει ( και θα έπρεπε να μπορούν ακόμα και οι μαθητές της θεωρητικής και συνεπώς και οι αυριανοί δικηγόροι) .
Για το λόγο αυτό είπα πως είναι και οι 3 πολύ ωραίες ερωτήσεις …
Ακόμα και αν κινούνται στα όρια … είναι απαραίτητες γιατί απαιτούν την στοιχειώδη εμπειρία των επιχειρημάτων της φυσικής._

Καλησπέρα Διονύση. Το σχήμα της ανάρτησης θυμίζει τα παράνομα σενάρια. Στη συνέχεια μαεστρικά κινείσαι στο “όριο”, δίνοντας έμφαση στη νόμιμη μεταφορική.
Εκεί που διασχίζεις τα σύνορα είναι όταν γράφεις:
“με ροπή τ=F ∙ 2R, ροπή η οποία θα επιταχύνει στροφικά το δίσκο αυξάνοντας την γωνιακή του ταχύτητα.”
Χωρίς το 2ο Νόμο στην ύλη, δεν αιτιολογείται. Πρέπει να το ξέρει ο μαθητής; Προσωπικά πιστεύω ναι, αλλά δε θα το έβαζα ως θέμα.
Μπορεί να τεθεί σε εξετάσεις;
https://i.ibb.co/MkrHLpTQ/2024.jpg

Καλημέρα και καλή Κυριακή Ανδρέα.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο και την κατάθεση της σκέψης σου.

Διονύση καλημέρα.
Όπως λες στα όρια της ύλης. Όμως πήρες αφορμή από τη φράση του σχολικού που είναι εντός της ύλης :

“Αν σ’ ένα ελεύθερο σώμα ασκηθεί δύναμη που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα δεν περιστρέφεται (θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση). Αν όμως ο φορέας της δύναμης δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα μαζί με τη μεταφορική κίνηση θα εκτελέσει και περιστροφική γύρω από ένα νοητό άξονα (ελεύθερος άξονας) που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το κέντρο μάζας του σώματος.”

και δημιούργησες τρεις πολύ ωραίες ερωτήσεις με διδακτικό στόχο. Θεωρώ δεν πρέπει να ζητηθεί κάτι τέτοιο σε εξετάσεις αλλά είναι πολύ καλή πάσα να γίνει μια συζήτηση. Στις ασκήσεις που κύλινδρος κινείται πάνω σε ράβδο είναι συνηθισμένο να σχεδιάζουν οι μαθητές δυνάμεις χωρίς όμως να κάνουν το ίδιο για την στατική τριβή όπου βέβαια είναι απόλυτα δικαιολογημένοι.
Και βέβαια όλα αυτά με την περικοπή της ύλης οδηγεί σε αντιφάσεις. Για παράδειγμα καθώς διόρθωνα το 2025, στο ερώτημα Δ2 πολλοί μαθητές εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα χωρίς να λάβουν την στατική τριβή υπόψη ή λαμβάνοντας αυτή που βρήκαν στην ισορροπία βρήκαν μια αcm λανθασμένη.
https://i.ibb.co/wZkBxLnw/Screenshot-1.jpg

Καλό απόγευμα Χρήστο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Οι περικοπές της ύλης, οδηγούν στις παρενέργειες που αναφέρεις.
Αν όμως το θέμα των εξετάσεων είχε ένα ερώτημα όπως “πού οφείλεται η περιστροφή της στεφάνης”, αυτό θα οδηγούσε στην εμφάνιση της τριβής και στην αποφυγή του λάθους και ας μην είχαν διδαχτεί οι μαθητές το 2ο νόμο για την στροφική κίνηση…

Όταν εισάγουμε τη δυναμική ενέργεια, αναφέρουμε ότι μόνο οι διαφορές της έχουν φυσική σημασία. Και μετά το ξεχνάμε.
Ωστόσο ακόμη και όταν φαίνεται ότι χρησιμοποιούμε μεμονωμένες τιμές της δυναμικής ενέργειας και όχι μεταβολές της, στην πραγματικότητα εργαζόμαστε με μεταβολές. Απλώς η μία από τις δύο τιμές είναι μηδενική.
Θεωρώ λοιπόν ότι αυτό πρέπει κάποια στιγμή να το κάνουμε σαφές στους μαθητές, και όσο νωρίτερα τόσο καλύτερα. Διαφορετικά, πολύ σύντομα εμφανίζονται αδιέξοδα, όπως αυτό που περιγράφεται στην παρούσα ανάρτηση.

Γεια σου Ανδρέα.
Έχω την αίσθηση ότι παίζεις με μία περίφραση.
Υποθέτω ότι δεν θα είχες αντίρρηση με τη φράση:
Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός συστήματος είναι ίση με το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής του ενέργειας.

Γιάννη δεν έχω αντίρρηση με οποιαδήποτε φράση περιγράφει την ΑΔΜΕ. Και στην ΑΔΜΕ όπως και εσύ αναφέρεις υπάρχουν μεταβολές της δυναμικής ενέργειας όχι μεμονωμένες τιμές της.

Δεν καταλαβαίνω λοιπόν σε ποιο παιχνίδι αναφέρεσαι;
Είναι σωστή η φράση ότι η μηδενική δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική;

Ανδρέα όταν μιλάμε χρησιμοποιούμε ενίοτε περιφράσεις ώστε να μην λέμε σχοινοτενείς προτάσεις.
Λέμε ότι η δυναμική ενέργεια του νερού της υδατόπτωσης μετατράπηκε σε θερμική και ηλεκτρική και άλλα παρόμοια.

Περίφραση βλέπουμε στον Αλεξόπουλο:
Όταν τα νήματα εκτυλιχθούν εντελώς η δυναμική ενέργεια του σφονδύλου θα έχει μετατραπή εξ ολοκλήρου εις κινητικήν ενέργειαν…..
(Μηχανική σελίδα 70)
Δηλαδή και λάθος να κάνουμε έχουμε καλή παρέα.

Καλησπέρα Ανδρέα και Γιάννη. Ανδρέα λες ότι η δυναμική ενέργεια ουδέποτε μετατρέπεται σε κινητική. Μετά λες ότι στην ειδική περίπτωση της ελεύθερης πτώσης μετατρέπεται. Άρα αναιρείς το ουδέποτε.
Επίσης σε άπειρη απόσταση που η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική, η βαρυτική έλξη δεν είναι μηδενική;

Γιάννη γράφεις ότι αποφεύγουμε τις σχοινοτενείς εκφράσεις. Ήδη συμφωνήσαμε στη φράση “Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός συστήματος είναι ίση με το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής του ενέργειας.” Είναι αυτή σχοινοτενής;

Θοδωρή στη Φυσική όταν λέμε και διδάσκουμε ότι δύο σώματα βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους, στην πραγματικότητα αναφερόμαστε σε μια κατάσταση όπου η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων είναι πάρα πολύ μεγάλη ώστε η δύναμη μεταξύ τους να είναι πάρα πολύ μικρή και γι’ αυτό αργά αργά αποκτούν κινητική ενέργεια.

Ωστόσο αυτό δεν είναι απαραίτητο για να οδηγηθούμε σε αδιέξοδο, στην περίπτωση που ισχυριζόμαστε ότι η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική. Σύμφωνα με τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας μπορούμε να επιλέξουμε ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδενική σε όποιο σημείο θέλουμε. Πώς λοιπόν η μηδενική δυναμική ενέργεια μπορεί να μετατραπεί σε κινητική;

Γιάννη η απάντηση που θα έδινε ο Αλεξόπουλος στο ερώτημα πώς γίνεται η μηδενική δυναμική ενέργεια να μετατραπεί σε κινητική νομίζω θα ήταν η εξής:

Ακόμη και όταν φαίνεται ότι χρησιμοποιούμε μεμονωμένες τιμές της δυναμικής ενέργειας και όχι μεταβολές της, στην πραγματικότητα εργαζόμαστε με μεταβολές. Απλώς η μία από τις δύο τιμές είναι μηδενική. Άρα ακόμη και σε αυτή την ειδική περίπτωση, δεν μετατρέπεται η μηδενική δυναμική ενέργεια σε κινητική αλλά η ελάττωση της δυναμικής ενέργειας είναι ίση με την αύξηση της κινητικής. Δηλαδή υπονοούμε μεταβολές της δυναμικής ενέργειας και όχι μεμονωμένες τιμές της.

Γιάννη και Θοδωρή αναφέρεστε σε δύο περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούμε τη φράση: “Η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική”. Στην πραγματικότητα ακόμη και όταν φαίνεται ότι χρησιμοποιούμε μεμονωμένες τιμές της δυναμικής ενέργειας και όχι μεταβολές της, στην πραγματικότητα εργαζόμαστε με μεταβολές. Απλώς η μία από τις δύο τιμές είναι μηδενική.

Περισσότερα δείτε στην Εικόνα που επισυνάπτω. Πρόκειται για απόσπασμα από την ανάρτησή μου: Η δυναμική ενέργεια ουδέποτε μετατρέπεται σε κινητική
https://i.ibb.co/cS3dkWwm/378.png

Καλημέρα παιδιά.
Ανδρέα μπορεί να έδινε τέτοια απάντηση όμως έγραψε στο βιβλίο του:
Όταν τα νήματα εκτυλιχθούν εντελώς η δυναμική ενέργεια του σφονδύλου θα έχει μετατραπή εξ ολοκλήρου εις κινητικήν ενέργειαν…..

Γιάννη πώς θα εξηγούσες σε μαθητές τη φράση “Η δυναμική ενέργεια μετατράπηκε σε κινητική”, αν η αρχική δυναμική ενέργεια ήταν μηδενική, όπως στη βαρυτική αλληλεπίδραση μεταξύ δύο μαζών σε άπειρη απόσταση, χωρίς να αναφερθείς σε μεταβολές ενέργειας;

Όταν ως μαθητής είχα ρωτήσει για αυτό το παράδοξο, μού είχαν απαντήσει: “Θα το μάθεις στο Πανεπιστήμιο.” Όταν ρώτησα στο Πανεπιστήμιο, μου απάντησαν: Έπρεπε να το έχεις μάθει στο σχολείο.”! Έτσι άρχισα να ψάχνω μόνος μου!

Καλημέρα σε ολους.Ολοι συμφωνούμε ότι :
Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός συστήματος είναι ίση με το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής του ενέργειας.
Ομως πολλές φορές όταν συζητάμε στην Φυσική χρησιμοποιούμε την φυσιολογική “άκροβασία” : “Τα ευκόλως εννοούμενα παραλείπονται” (παρόλο που κάποια δεν είναι και τόσο “εννοούμενα”).
Έτσι όταν λέμε η δυναμική ενέργεια ενός σώματος είναι mgh και αυτή γίνεται κινητική , εννοούμε ότι έχουμε αυτή την δυναμική ενέργεια σε σχέση με μια άλλη θέση όπου θεωρούμε την δυναμική ενέργεια μηδέν.
Το ίδιο και αυτό με την υδατοπτωση που αναφέρει ο Γιάννης.Εννοουμε ότι η μεταβολή της αρχικης δυναμικης ενέργειας του νερού σε σχέση με το σημείο πτώσης μετατρέπεται σε κινητικη και ακολούθως θερμική και ηλεκτρικη λέγοντας η δυναμική ενέργεια υδατοπτωση.
Έτσι ο Ανδρέας είναι ναι μεν σωστός , αλλά και οι άλλοι είναι σωστοί (όπως ο Θοδωρής) αφού ” νομιμοποιούνται” με την παραπάνω λογική (εφ’ όσον έχουν συζητήσει αυτό με τον συνομιλητή τους ή τους μαθητές τους σε προηγούμενο χρόνο).

Καλημέρα και στον Γιώργο.
Ανδρέα δεν βλέπω παράδοξο σ’ αυτό.
Ένα σώμα που έχει φορτίο μηδέν μπορεί άνετα να δώσει φορτίο σε άλλο και να βρεθεί με αρνητικό φορτίο.
Ένα σύστημα με μηδενική δυναμική ενέργεια προσφέρει σε άλλο ή στον εαυτό του ενέργεια και βρίσκεται με αρνητική δυναμική ενέργεια.

Αγαπητέ Ανδρέα, αγαπητοί συνάδελφοι,

νομίζω ότι η ουσία της θέσης είναι η εξής: ουδέποτε η απόλυτη αριθμητική τιμή της δυναμικής ενέργειας U μετατρέπεται σε κινητική. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι, όταν η U μειώνεται κατά |ΔU|, η κινητική ενέργεια αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.

Χωρίς όμως τη διευκρίνιση «απόλυτη αριθμητική τιμή», η φράση «η δυναμική ενέργεια ουδέποτε μετατρέπεται σε κινητική» αφήνει χώρο για αμφισημία, γιατί άλλο είναι η U και άλλο η ΔU.

Καλησπέρα και πάλι. Ανδρέα έχουμε ένα σύστημα δύο ετερόσημων ηλεκτρικών φορτίων σε ορισμένη απόσταση μεταξύ τους. Το σύστημα των φορτίων έχει μια ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Αφήνουμε τα φορτία να κινηθούν υπό την επίδραση της μεταξύ τους ηλεκτροστατικής έλξης. Τα φορτία αποκτούν κινητική ενέργεια. Από που προήρθε η ενέργεια αυτή; Σύμφωνα με το νόμο διατήρησης της ενέργειας η ενέργεια δεν παράγεται από το μηδέν ούτε καταστρέφεται, αλλά το μόνο που κάνει είναι να αλλάζει μορφές. Επομένως αν η κινητική ενέργεια των φορτίων δεν προέρχεται από τη μετατροπή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος σε κινητική, από που μπορεί να προέρχεται; Παράγεται από το μηδέν;

Γιώργο Χριστόπουλε συμφωνώ απόλυτα μαζί σου:

Πολλές φορές, όταν συζητάμε στην Φυσική χρησιμοποιούμε την φυσιολογική “άκροβασία” : “Τα ευκόλως εννοούμενα παραλείπονται” (παρόλο που κάποια δεν είναι και τόσο “εννοούμενα”).

Η περίπτωση–παράδοξο που αναφέρω στην παρούσα ανάρτησή μου έχει ακριβώς αυτόν τον σκοπό: να μας υπενθυμίσει ότι,

Όταν στη διδασκαλία χρησιμοποιούμε «τιμές» δυναμικής ενέργειας, στην πραγματικότητα χειριζόμαστε μεταβολές — απλώς συχνά η μία από τις δύο τιμές έχει οριστεί μηδενική.

Θεωρώ ότι αυτή η διάκριση πρέπει να παραμένει ενεργή στη διδακτική μας, γιατί αλλιώς οδηγούμαστε γρήγορα σε παρανοήσεις, όπως το φαινομενικό «παράδοξο» της βαρυτικής έλξης δύο μαζών.

Άρα η επισήμανσή σου δεν είναι μόνο σωστή είναι και απαραίτητη για να μη χάνουμε τη φυσική πίσω από τον φορμαλισμό.

Γιάννη γράφεις: “Ένα σύστημα με μηδενική δυναμική ενέργεια προσφέρει σε άλλο ή στον εαυτό του ενέργεια και βρίσκεται με αρνητική δυναμική ενέργεια.

Απάντηση: Αυτό που περιγράφεις επιβεβαιώνει ότι η αρχική μηδενική ενέργεια δεν μετατράπηκε σε κινητική αλλά η κινητική ενέργεια προήλθε από την μεταβολη της δυναμικής.

Μιλτιάδη συμφωνούμε ως προς τη φυσική.

Σχετικά με την ορολογία νομίζω ότι όταν χρησιμοποιούμε τον όρο δυναμική ενέργεια εννοούμε την αριθμητική τιμή της. Αν χρησιμοποιήσουμε τον όρο απόλυτη τιμή της δυναμικής ενέργειας εννοούμε την τιμή της χωρίς το πρόσημο. Βέβαια δεν εννοείς αυτό. Αν για έμφαση θέλουμε να αντιδιαστείλουμε την τιμή της δυναμικής ενέργειας από τη μεταβολή της μπορούμε να πούμε “μεμονωμένη τιμή της δυναμικής ενέργειας”.

Αγαπητέ Ανδρέα, συμφωνώ, αυτός είναι ο ακριβής όρος.

Σχετικά με την ορολογία, νομίζω ότι το κρίσιμο είναι να ξεχωρίσουμε τη μεμονωμένη αριθμητική τιμή της δυναμικής ενέργειας U από τη μεταβολή της ΔU.

Αν, για παράδειγμα, για την ίδια κατάσταση ενός συντηρητικού συστήματος γράψουμε U = 5 J (ως προς ένα επίπεδο αναφοράς Α), U = 0 J (ως προς ένα επίπεδο αναφοράς Β) ή U = -10 J (ως προς ένα επίπεδο αναφοράς Γ), καμία από τις τρεις τιμές δεν μας λέει ότι έχουμε αντίστοιχα 5 J, 0 J ή -10 J «διαθέσιμα» για μετατροπή σε κινητική ενέργεια. Η μεμονωμένη τιμή της U εξαρτάται από την επιλογή του μηδενός και επομένως, από μόνη της, δεν μας πληροφορεί για το ποσό ενέργειας που μπορεί να μετατραπεί.

Το ποσό αυτό καθορίζεται μόνο όταν ορίσουμε μια άλλη κατάσταση προς την οποία μπορεί να μεταβεί (κινηθεί) το σύστημα. Αν κατά τη μετάβαση αυτή η δυναμική ενέργεια ελαττωθεί κατά |ΔU|, τότε, εφόσον διατηρείται η μηχανική ενέργεια, η κινητική ενέργεια αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.

Καλησπέρα. Πάντως υπάρχει και αυτή η άποψη: Η έκφραση “η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική” είναι σωστή, ακόμα και αν η αρχική μαθηματική τιμή της δυναμικής ενέργειας έχει οριστεί αυθαίρετα μηδέν.
Στη Φυσική, η «μετατροπή» μιας μορφής ενέργειας σε μια άλλη δεν σημαίνει ότι μια θετική ποσότητα πρέπει να γίνει μηδέν. Σημαίνει ότι η μείωση της μίας ενέργειας προκαλεί την αύξηση της άλλης. Η έκφραση «η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική» περιγράφει μια δυναμική διαδικασία: τη ροή ενέργειας από τη μία μορφή στην άλλη, ανεξάρτητα από το ποιον αριθμό επιλέξαμε για αρχική τιμή της δυναμικής ενέργειας.
Και θεωρώ ότι αυτός είναι ο λόγος που τα βιβλία φυσικής και χημείας χρησιμοποιούν την έκφραση “η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική” ή το αντίστροφο.

Θοδωρή παραθέτεις την άποψη ότι η έκφραση “η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική” είναι σωστή ακόμα και αν η αρχική μαθηματική τιμή της δυναμικής ενέργειας έχει οριστεί αυθαίρετα μηδέν, διότι, όπως αναφέρεις, σημαίνει ότι η μείωση της μίας ενέργειας προκαλεί την αύξηση της άλλης.

Νομίζω ότι και σε αυτήν περίπτωση επιβεβαιώνεται ότι η αρχική μηδενική ενέργεια δεν μετατρέπεται σε κινητική. Απλώς η μείωση της μιας ενέργειας είναι ίση την αύξηση της άλλης (ΑΔΜΕ).

Πολύ ενδιαφέρουσα ανάρτηση.
Εδώ κάτι που έχει για μένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι το εξής. Είναι δυνατόν ένα σώμα που βρίσκεται στο άπειρο να δεσμευτεί λόγω βαρυτικής έλξης απο ένα ελκτικό κέντρο;
Η απάντηση προς έκπληξή μου ήταν όχι. Αν δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, το σώμα δεν θα δεσμευτεί ποτέ, αφού η ολική του ενέργεια πάντα θα είναι 0.

Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση ήταν η ανάρτηση του Θοδωρή Πασγουρίδη: Ενεργειακή μελέτη οριζόντιας βολής – Υλικό Φυσικής – Χημείας.

Καλημέρα.
Ανδρέα διάβασα με προσοχή και την δική αναρτηση και του Θοδωρή.Έχω την εντύπωση ότι λέτε ακριβώς το ίδιο.
Η |ΔU| η δική σου όπως σωστα επισημαίνεις
είναι mgH.
Το mgH του Θοδωρή είναι η |ΔU|
Aπό την οποια σχέση για το βεληνεκές που υπολογίζετε που φαίνεται διαφορετική με αντικατάσταση καταλήγουμε στην άλλη.
Πάντως η οδηγία προς τον εαυτό μου.
Σε ομογενές βαρυτικό πεδίο με βολεύει για να μην μπλέκω να βάζω U=0 στο κατώτερο σημειο της μετακίνησης κάθε φορά. Ακόμα κι αν στην ιδια ασκηση μπορει αυτα να ειναι διαφορετικά σε κάθε ερωτημα.

Γιώργο καλημέρα.

Οι δύο σχέσεις του Θοδωρή και η δική μου δεν είναι ισοδύναμες. Δεν ξέρω αν αυτό εννοείς. Ο δικός μου τύπος είναι γενικός και ισχύει σε κάθε περίπτωση και γι’ αυτό επαληθεύεται στην ειδική περίπτωση που αναφέρει ο Θοδωρής. Όμως, αν για παράδειγμα, ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας επιλέξουμε το οριζόντιο επίπεδο σε ύψος Η, ο τύπος του Θοδωρή δεν ισχύει, διότι εμφανίζεται Uαρχ=0 στον παρονομαστή. Θα πρέπει λοιπόν να βρεθεί διαφορετικός τύπος.

Σχετικά με την τακτική σου να επιλέγεις το βολικότερο επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας και όχι απαραίτητα το κατώτερο, θα συμφωνήσω βεβαίως ότι είναι καθόλα νόμιμη. Θα σου πρότεινα ωστόσο να δοκιμάσεις να δουλεύεις με μεταβολές της δυναμικής ενέργειας και όχι με τις τιμές της ως προς κάποιο επιλεγμένο επίπεδο. Έτσι απαλλασσόμαστε από το να αποδίδουμε φυσικό νόημα στις τιμές της δυναμικής ενέργειας, όπως στην περίπτωση που αν και η αρχική δυναμική ενέργεια είναι μηδενική λέμε παραδοξολογώντας ότι μετατρέπεται σε κινητική.

Καλημέρα Ανδρέα.
Αναμφισβήτητα η σχέση ΣΟΥ με ΔU καλύπτει τη γενικότητα,
χωρίς όμως να θίγεται η σχέση του Θοδωρή αφού δηλώνει U=0 στο έδαφος και η σχέση του δεν αποδίδεται σαν γενική ,αλλά με ορισμένη στάθμη αναφοράς.
Ως προς τα bold στο τελευταίο σχόλιό σου σκέφτομαι…μα η U θα μειωθεί (<0) και θα μετατρέπεται σε Κ.
Σκέφτομαι επίσης τα θέματα στο Β.Π με δυό μάζες που αφήνονται και η αρνητική U του συστήματος γίνεται Κ.
Με την ευκαιρία : η σχέση (3) θέλει διόρθωση ,αντί Η πρέπει m.

Παντελή καλησπέρα.

Αυτό ακριβώς που αναφέρεις είναι και η δική μου άποψη για την ανάρτηση του Θοδωρή. Το σχόλιό μου κάτω από τη συγκεκριμένη ανάρτηση ήταν:

Θοδωρή

Ο τύπος που αποδεικνύεις για το ύψος και το βεληνεκές ισχύει μόνο αν επιλέξουμε η δυναμική ενέργεια να είναι μηδενική στο έδαφος. Για παράδειγμα αν επιλέξουμε η δυναμική ενέργεια να είναι μηδέν στο σημείο εκτόξευσης, το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό. Μπορούμε ωστόσο να έχουμε ένα αποτέλεσμα ανεξάρτητο από αυτή την επιλογή μας.

Στην παρούσα ανάρτησή μου λοιπόν δείχνω πως αν χρησιμοποιήσουμε τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας, αντί για τις ειδικές τιμές της, προκύπτει ένας τύπος ανεξάρτητος από την επιλογή του επιπέδου μηδενικής δυναμικής ενέργειας.

Σχετικά με “τα θέματα στο βαρυτικό πεδίο με δύο μάζες που αφήνονται” που αναφέρεις, ετοιμάζω ξεχωριστή ανάρτηση ώστε να γίνει μια ξεχωριστή συζήτηση.

Σε ευχαριστώ για τη διόρθωση.