Αντώνης Χρονάκης

Πολύ ωραίο Γιάννη.
Βρήκα το ίδιο με απόλυτες κινήσεις, τη στιγμή που οι ταχύτητες πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σώματα εξισωθούν. Μ’ αρέσει πολύ η λύση σου.

Καλησπέρα Χριστόφορε.
Ευχαριστώ.

Καλησπέρα Γιώργο.

Kαλησπέρα παιδιά.
Είμαι βάρβαρος

https://i.ibb.co/0VWRWxJT/barbaros.jpg

Καλησπέρα Γιάννη. Πολυ όμορφη η λύση σου. Με τον “πατροπαραδοτο” τροπο:
d^2=(4t)^2+(5-3t)^2 => d^2 =25t^2-30t+25
Εχουμε β´θμια συναρτηση με το α>0 αρα υπαρχει ελαχιστη τιμή για t=-β/2α=30/50=> t=0,6s , άρα d^2(min)=16 => dmin =4m

Καλημέρα Γιώργο.

Καλημέρα Διονύση.
Καλό!
Πρέπει να βλέπει στο σχήμα τις διαμέτρους …

Καλημέρα Διονύση και Παντελή.
Πολύ καλή, Διονύση.

Καλημέρα Διονύση.
Προσομοίωση:

Καλημέρα παιδιά.
Διονύση
Ο κακεντρεχής ερωτά.
Μήπως δεν είναι προφανές οτι διαγράφει ημικύκλιο? δηλ εκτοξεύεται κάθετα στην διαχωριστική γραμμή εισερχόμενο στο Β1 θα εισελθει και κάθετα στην διαχωριστική γραμμή στο Β2? ή διαφορετικά γιατί σημειο εισοδου – σημειο εξόδου ορίζουν διάμετρο?
Ο αδίσταχτος μαθητής προτρέπει.
Δώστε κύριε κάποια στοιχεία ακόμα και σε χρoνικό διάστημα dt θα υπολογίσω το χρονικό διστημα Δt μέχρι να εξέλθει

Καλημέρα Γιώργο.
Κι εγώ γίνομαι στο συγκεκριμένο σημείο κακεντρεχής ή μάλλον προβοκάτορας προς τους μαθητές (όπως είχες γράψει σε ένα άλλο σχόλιο σε ανάρτηση του Μανώλη Χανιωτάκη). Εκεί γίνεται μάχη (της Γεωμετρίας).

Καλημέρα Γιώργο.
Θα έλεγα πως η διαχωριστική των πεδίων είναι κάθετη στην υ εισόδου εφαπτόμενη της τροχιάς, άρα διέρχεται από το κέντρο συνεπώς διάμετρος το τμήμα μέχρι την έξοδο.

Καλημέρα Χριστόφορε. Καλημέρα Παντελή
Καλό είναι ο μαθητής αν έχει χρόνο να δικαιολογεί ότι δεν αναφέρεται στην θεωρία του βιβλιου.
Ειναι νομίζω βασική γνωση να γνωριζει και να αποδεικνύει ο μαθητής ότι όταν το οριο του πεδίου ειναι ευθεια και απεριόριστο , όταν το φορτιο εισερχεται με το διάνυσμα της ταχυτητας να σχηματιζει γωνία φ με την ίδια γωνία εξέρχεται. Αν δεν το γνωριζει δεν μπορεί να υπολογισει ακτινα , χρονο κινησης κλπ.
Παντελη συμφωνώ με αυτό που ειπες.
Πιο αναλυτικα στο σημειο εισοδου. Ταχύτητα καθετη στην ευθεία. δυναμη καθετη στην ταχυτητα. Άρα F πάνω στην ευθεία. δηλ κεντρο πάνω στην ευθεια.
Σημείο εξόδου.
η F oφειλει να κοιταζει στο κεντρο. Αρα οφειλει να ειναι πάνω στην ιδια ευθεία.δηλ σημείο εισοδου – σημείο εξόδου ανήκουν στην διάμετρο. κλπ.
Με συμβολα αποδεικνύεται χωρίς φασαρία σε δυο γραμμές

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Παντελή, Χριστόφορε, Γιάννη και Γιώργο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Όσο για τον …κακεντρεχή και γω μαζί σας 🙂
Αν είχα απέναντί μου μαθητή, δεν θα τον άφηνα να το προσπεράσει!
Γιατί τότε το άφησα εγώ; Έλα ντε, το θεώρησα αυτονόητο…

Μια άσκηση που κυριολεκτικά ήταν γραμμένη πριν χρόνια αλλά δεν είχα αξιωθεί να γράψω τη λύση.

Πολύ ωραία Χρήστο. Με προσαρμογές δουλευει νομίζω και στην β γυμνασίου…

Καλησπέρα Γρηγόρη.
Σ ευχαριστώ για το σχόλιο. Δίκιο έχεις θα μπορούσε να προσαρμοστεί στην Β γυμνασίου.

Πολύ ωραίο πρόβλημα.
Πολύ σημαντικό το ότι ξεχωρίζεις την ενέργεια που δαπανά ένα θερμοδυναμικο σύστημα (ο άνθρωπος) από την ενέργεια που απαιτείται για να ανυψωθεί η μπάρα.
Και ωραία τροφή για συζήτηση ώστε να ξεριζωθεί μια μεγάλη παρανοηση. Οι μαθητές , ειδικά στις μικρές ηλικίες, βλέπουν ανθρωπομορφικα την Φυσική “αφού κουράζομαι κρατώντας την μπάρα πάνω η ενέργεια που δαπανά παει στην μπάρα”.
Κάτι που θα μπορούσε να ρωτήσει κανείς στο πλαίσιο συζήτησης θα ήταν.

Σηκώνω την μπάρα και μόλις φτάσω στο μέγιστο ύψος την αφήνω. Με πόση κινητική ενέργεια φθάνει στο έδαφος;

Τώρα σηκώνω την μπάρα και την κρατάω εκεί δύο λεπτα. Κουράζομαι; Τι σημαίνει αυτό; Θα αλλάξει η κινητική ενέργεια Με την οποία η μπάρα φθάνει στο έδαφος;

Καλησπέρα Μανώλη,
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Ωραίες οι προεκτάσεις που προτείνεις.

Καλημέρα Διονύση.
Μεταποιείς όμορφα τα μοντέλα ωθώντας την προσοχή γενικά σε
σε “σημεία στίξης” και νομίζω σύνδεσης με την επόμενη τάξη.
Δικό μου εννοείται το (;)…γιατί δεν πήρε και μια τυχαία θέση ;
Θα ‘χει το λόγο του…
(Θέλει μια διόρθωση η R=1m στην εκφώνηση σε 0,9m όπως στη λύση χρησιμοποιείς.)
Καλή Κυριακή

Καλημέρα Παντελή και καλή Κυριακή.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την επισήμανση για την ακτίνα.
Σκέφτηκα, πάλι άλλαξα δεδομένο… Αλλά αυτή τη φορά, δεν το διέπραξα 🙂
Έχω δώσει ακτίνα R=l και όχι R=1m, όπου l το μήκος του νήματος….

Συχνά τα κρούσματα …απροσεξίας μου
και πρέπει να ‘χω το νου μου.
Αυτό το l σαν σύμβολο του ελ πολύ μου τη δίνει
Να ‘σαι καλά Διονύση

“Αυτό το l σαν σύμβολο του ελ πολύ μου τη δίνει”
Δίκιο έχεις Παντελή…

Ωραία άσκηση Διονύση.

Καλό απόγευμα Παύλο.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ διδακτική για το ρόλο της τάσης στο απλό μοντέλο, νήμα – σώμα. Στο Τ = 0 η αντιστοίχιση με δορυφόρο, μου θύμισε μια παλιά ανάρτηση, που δε μπορώ πλέον να την κάνω στην τάξη του 2026, γιατί τότε παλιά το 2019…
Διαστημικός ανελκυστήρας

όπου στο β΄ερώτημα Τ=0.
Υπάρχει στο Word η γραμματοσειρά Euclid Extra, που έχει πολύ όμορφο l,https://i.ibb.co/GQSrXBss/23.jpg
αλλά χάλια όλα τα άλλα

Διονύση πολύ όμορφη ανάρτηση. Το δεύτερο ερώτημα θεωρώ πως αναδεικνύει την σημαντικότητα της Α Λυκείου και αποτελεί μια συνέχεια στην ανάρτηση του Γιάννη
Το ντε ως μικρότατη ποσότητα.

Καλημέρα Διονύση και Παύλο.
Πολύ δυνατό θέμα!!
Κάποτε πρέπει τα Β΄ θέματα να μας αναγκάζουν να διαβάζουμε διαγράμματα.

Καλημέρα Διονύση.
Εξαιρετική από όλες τις απόψεις.

Γεια σας παιδιά.
Παύλο, Γιάννη και Χρήστο, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλημέρα παιδιά. Εξαιρετική Διονύση!

Να είσαι καλά Αποστόλη.
Σε ευχαριστώ.

Kαλησπερα Γιάννη. Ειναι και αυτη μια αποψη.Απολυτα σεβαστη.Αν ο σκοπος οπως γραφεις ειναι να αποκτησουν τα παιδια μια λογικη χειρισμου,που εγω το λεω να μαθουν να κανουν πραξεις μηχανικα χρησιμοποιωντας τις ποσοτητες dx,dt dφ κλπ,τοτε καμια αντιρρηση.Αυτες οι πραξεις παντως δεν χρειαζονται στην Α Λυκειου οπου πρεπει να ορισουμε την στιγμιαια ταχυτητα. Εκει δεν υπαρχει κανενας λογος να την ορισεις σαν το πηλικο δυο ποσοτητων ντε.Εκτος του οτι ειναι λαθος,δεν χρησιμευει και σε κατι. Μπορει να οριστει με εναν κομπακτ τροπο χωρις πηλικο.
Στο παραδειγματα χρησης γραφεις υ=dx/dt=Rdφ/dt=Rω.Το οτι εχεις βαφτισει τις απειροστες ποσοτητες ντε και κανεις πραξεις με αυτες,δεν λεει κατι. Απο πουθενα δεν προκυπτει οτι το πηλικο τους ειναι οι στιγμιαιες ταχυτητες. Θα μπορουσες να γραψεις υ=Δx/Δt=RΔφ/Δt=Rω ή υ=δx/δt=Rδφ/δt=Rω Το να μπορει να τα κανει κανεις αυτα δεν σημαινει οτι καταλαβαινει κιολας. Μπορεις να κανει κανεις σωστους χειρισμους απο κεκτημενη ταχυτητα χωρις να εχει καταλαβει και πολλα πραγματα. Εμενα ομως δεν με ενδιαφερει τοσο αυτο.Αν το παιδι φτασει στην Γ Λυκειου,μπορει εκει να ορισει τα διαφορικα με σωστο τροπο αφου μαθαινει αυστηρα τον ορισμο της παραγωγου οπως τον μαθαινουν και οι πρωτοετεις φοιτητες. Κατα την γνωμη μου χρειαζεται να θεωρει κανεις τις ποσοτητες d πολυ μικρες,μονο οταν προκειται να ολοκληρωσει,οπως σε αυτο πιο κατω,οπου υπολογιζουμε την ροη του πεδιου Β=3rκ μεσα απο εναν μοναδιαιο κυκλο με κεντρο στην αρχη των αξονων. Η μεθοδος διδασκαλιας που βασιζεται στο οτι τα διαφορικα ειναι κατ αναγκην απειροστες ποσοτητες εχει καταδικασει πολλους καθηγητες οι οποιοι διδασκουν χρονια στα σχολεια,να νομιζουν απο τα σχολικα τους χρονια μεχρι τωρα,οτι αυτο ειναι το σωστο. Και αυτο δεν επιτρεπεται.Το εχω διαπιστωσει μεσα απο συζητησεις και στα σχολεια που δουλευω,και στους Φοιτητες που κανω φροντιστηριακα μαθηματα,αλλα και εδω.
Κατ αναλογιαν να θεωρουμε οτι η στατικη τριβη ως δυναμη επαναφορας ενος σωματος που κανει ΑΑΤ,εχει δυναμικη ενεργεια και να κανουμε πραξεις. Παλι ολα σωστα βγαινουν .
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFWerGH8kQU518goMRWTItQtU_GEqeRxS_uCH-KZl4lkDzG3R2e7GEiXptA67TkOQnxDsiQ5NmH4foopg8GLK9ouKDqWffg1ADElCBo9hP8_FeTy-V4KKZXcSJqk5T5izccZHvVQPvG00XAgswJRyanKASgHTigqkQoaia4amGDX3TonBfmxlX9nDhSK7b/w300-h400/3.jpg

Καλημέρα Γιάννη και Κωνσταντίνε.
Γιάννη απολαυστικός, αλλά όχι μόνο. Διαβάζοντας είδα τον εαυτόν μου να τα διδάσκει όλα αυτά, σε διάφορες φάσεις της ζωής μου.
Μπορεί Κωνσταντίνε, σαν μαθηματικός, να διατυπώνεις διαφωνία, αλλά το αποφεύγεις τη χρήση του d, επιμένοντας να συμβολίζεις με Δ, είτε η μεταβολή είναι “μεγάλη” είτε απειροστή, δεν βοηθάς το μαθητή να κατανοήσει τα πράγματα…
Άλλωστε μετά, κάποια στιγμή, θα πρέπει να υπολογίσεις τη ροή, όπως στο παράδειγμά σου και θα σημειώσεις στο σχήμα το dr σαν μια μικρή μεταβολή της ακτίνας και για να αποφύγεις την 1η λύση και το διπλό ολοκλήρωμα, θα πάρεις απευθείας το dA=2πrdr, όπως στη 2η λύση που θα καταλάβει εύκολα ένας μαθητής, που θα έχει διδαχτεί από το Γιάννη…

Γεια σου Γιάννη, πολύ ωραίο!

Καλημέρα Γιάννη.
Όταν μπαίνει το χιούμορ φυσικά και ντρέτα ,βοηθά να γελάσεις (δεν είναι κι εύκολο στις μέρες μας), να σκεφτείς και τελικά να καταλάβεις …ντε!
Άιντε ντε
Εγλάκηξε(νε)…
Νάσαι πάντα καλά Κυρ.

Καλημερα σε σε ολους. Διονυση μπορει καποιος μαθητης να εχει αποκτησει ικανοτητες υπολογισμων με μεγαλη ταχυτητα του στυλ
dx/dt=(dx/dφ)(dφ/dt)=x'(φ)ω=…..και ταυτοχρονα να μην εχει καταλαβει τι ειναι αυτα που γραφει. Επειτα αυτα ισως χρειαστει να τα κανει μονο στην Γ Λυκειου οπου οι κατευθυνσεις εχουν χωριστει και ειναι μαθηματικα ωριμος ωστε να μπορει να μαθει με σωστο τροπο τι ειναι τα διαφορικα αφου ασχολειται με ορια,παραγωγους κλπ. Η συζητηση ξεκινησε απο τους στιγμιαιους ρυθμους μεταβολης τους οποιους τους συναντα στην Α και οι ποσοτητες dx και dt αυτουσιες δεν χρειαζονται.Η αποψη μου ειναι οτι δεν τον βοηθαω μαθαινοντας του λαθος. Αν θελω να τον κανω απλως ξεφτερι στους υπολογισμους,αυτο ειναι το πιο ευκολο.Γινεται και χωρις να εχει καταλαβει τιποτα. Bεβαιως τωρα μιλαμε για μεθοδους διδασκαλιας και ο καθενας εχει την αποψη του η οποια ειναι σεβαστη.

Καλημέρα παιδιά.
Ευχαριστώ για τα σχόλια.
Παντελή έφαγα την αύξηση. Διορθώνω.
Ο Διονύσης έκανε σχόλια που με καλύπτουν αλλά θα απαντήσω στον Κωνσταντίνο φυσικά.

Κωνσταντίνε λες ότι δεν χρειάζεται στην Α΄ Λυκείου.
Η Α΄ Λυκείου δεν ήταν πάντα έτσι. Δεν εννοώ την εποχή μου ήμουν στην αντίστοιχη Δ΄ Γυμνασίου αλλά και αρκετά χρόνια που δίδασκα.
Θα μπορούσε να ξαναγίνει ουσιαστική.

Γράφεις:
Εκει δεν υπαρχει κανενας λογος να την ορισεις σαν το πηλικο δυο ποσοτητων ντε.Εκτος του οτι ειναι λαθος,δεν χρησιμευει και σε κατι. Μπορει να οριστει με εναν κομπακτ τροπο χωρις πηλικο.

Θα μπορούσε αλλά το θέμα δεν είναι να οριστεί. Είναι να καταλάβουν και το γιατί και τη φύση του μεγέθους και να αποκτήσουν την κουλτούρα να χρησιμοποιούν τη λογική αυτήν σε άλλες περιπτώσεις.
Έτσι η κομψότητα θυσιάζεται.

Παρακάτω:
Θα μπορουσες να γραψεις υ=Δx/Δt=RΔφ/Δt=Rω ή υ=δx/δt=Rδφ/δt=Rω 
Ναι αν τονίσεις ότι το Δt τείνει στο μηδέν.
Διαφορετικά Δx δεν είναι R.Δφ.
Αυτό το “τείνει” προέρχεται από τη γλώσσα των ορίων, γλώσσα άγνωστη.
Οπότε χρειάζονται και όλα όσα είπα για προσομοιώσεις και γραφικές παραστάσεις για να γίνει κτήμα τους το “τείνει”.
Έπειτα η διεύθυνση γιατί είναι αυτή της ακτίνας;
Λείπουν πράγματα έτσι. Λείπουν χωρίς λόγο.
Συμφωνώ με τον Διονύση λέγοντα:
….αλλά το να αποφεύγεις τη χρήση του d, επιμένοντας να συμβολίζεις με Δ, είτε η μεταβολή είναι “μεγάλη” είτε απειροστή, δεν βοηθάς το μαθητή να κατανοήσει τα πράγματα…

Γιατι το Δx δεν ειναι RΔφ ;

Μετά:
Αν το παιδι φτασει στην Γ Λυκειου,μπορει εκει να ορισει τα διαφορικα με σωστο τροπο αφου μαθαινει αυστηρα τον ορισμο της παραγωγου οπως τον μαθαινουν και οι πρωτοετεις φοιτητες. 

Τα παιδιά της υγείας ουδέποτε θα μάθουν παραγώγους.
Όσοι μάθουν θα μάθουν πολύ αργά, όταν η Φυσική θα έχει προχωρήσει.
Στη Β΄ Λυκείου τι θα γίνει;

Μετά:
Η μεθοδος διδασκαλιας που βασιζεται στο οτι τα διαφορικα ειναι κατ αναγκην απειροστες ποσοτητες εχει καταδικασει πολλους καθηγητες οι οποιοι διδασκουν χρονια στα σχολεια,να νομιζουν απο τα σχολικα τους χρονια μεχρι τωρα,οτι αυτο ειναι το σωστο. 
Ο συνάδελφοι διδάχτηκαν Μαθηματικά και έχουν δει Φυσικά με κομψά Μαθηματικά από τα μέσα του Α’ έτους (την εποχή μου τουλάχιστον). Παρανοήσεις είναι πιθανές αλλά εδώ είμαστε να συζητάμε γι’ αυτές και να διορθώνονται.
Στα παιδιά μιλάς με τον πιο κατανοητό τρόπο. Περνάς την ιδέα θυσιάζοντας την κομψότητα όπου χρειάζεται.

Είπα να ρωτήσω και το Chatgpt.
H ….συζήτηση ΕΔΩ.

Έγραφα και τώρα είδα το σχόλιο.
Η μετατόπιση Δx είναι η χορδή και το R.Δφ είναι το τόξο.
Είναι σχεδόν ίσα μόνο όταν το τόξο είναι απειροστό. Δηλαδή πρέπει να πούμε αυτό το ουρανοκατέβατο “τείνει”.
Έτσι βάζουμε ένα “τείνει” που ξεχνιέται και είναι ταυτόχρονα και πολυλογία.
Τα παιδιά μπερδεύουν το Δ με το d χωρίς λόγο.
Ούτε η κομψότητα είναι λόγος ούτε ψευτοπαιδαγωγικές επικλήσεις.

Aυτα Διονυση του Chatgpt ειναι εν μερει σωστα. Το οτi dx ειναι μια απειροστη μεταβολη του x ειναι λαθος. Δεν οριζεται ετσι. Πρεπει να δουμε τι γραφουν τα καλυτερα βιβλια που εχουν εκπαιδευσει γενεες μαθηματικων και οχι το Chatgpt. Στο παιδαγωγικο κομματι δεν μπορω να επιμενω γιατι εκει τα πραγματα ειναι υποκειμενικα αλλα μην μου λες οτι Το dx ειναι εξ ορισμου μια μικρη μεταβολη του x. Το dx=Δx εξ ορισμου και ειναι οσο μκρο ή οσο μεγαλο θελεις.Τα Μαθηματα Αναλυσεως του Κάππου μαλλον ειχες στο Πανεπιστημιο. Δες τι γραφει στην σελιδα 278.Ασε το Chatgpt

Καλημέρα Ανδρέα.
Είναι βολικό να μη χρησιμοποιηθεί σαν συμβολισμός.
Προτιμώ τη λογική του Αρχιμήδη. Όχι για πατριωτικούς λόγους αλλά γιατί είναι πιο πρώιμο το στάδιο και πιο προσιτό σε παιδιά.
Ο Λάιμπνιτς θεμελίωνε τα Μαθηματικά κάτι που εγώ δεν κάνω.

Γιάννη καλημέρα.

Νομίζω ότι στο κείμενό σου πρέπει να προσθέσεις ότι οι μαθητές της Γ’ Λυκείου γνωρίζουν αυτό που φαίνεται στην Εικόνα.

https://i.ibb.co/tTZQr1bG/2026-05-16-093845-1778913619-3583.jpg

Kαι απόξω

https://i.ibb.co/zzdHKtW/65a370b5-69b6-40dd-91bb-84792faf2aa9-1778915044-5242.jpg

Εχω το βιβλιο του Κάππου το οποιο το εψαχνα χρονια σε οτι παλαιολωλειο εβρισκα στην Αθήνα. Αναφερομαι σε αυτο διοτι οι παλαιοτεροι ισως τον ειχατε και καθηγητη. Μετα ηρθε ο Νεγρεποντης αλλα και αυτος τα ιδια γραφει. Τα εχω ολα τα βιβλια τους.
Μην επιμενετε το dx δεν ειναι απειροστο. Αν πρεπει ετσι να το παρουσιασουμε σε πρωτη φαση για παιδαγωγικους σκοπους ,εκει παω πάσο.Δεν μπορει ομως να κοιταμε Chatgpt οταν εχουμε αυτα τα βιβλια. Ιεροσυλια! 🙂

https://i.ibb.co/yBkH9Brd/0d7cd867-7a93-4557-b8a7-0027c7a78f22-1778914959-1119.jpg

Σχετικό είναι το απόσπασμα από την απάντηση του Chat GPT που αναφέρει ο Διονύσης στο σχόλιό του και φαίνεται στην Εικόνα.

https://i.ibb.co/bjP6wBSS/2026-05-16-102939.png
https://i.ibb.co/TMdKTJyh/2026-05-16-102957.png

Ε το οριζει λαθος τι να κανουμε τωρα.Και η δικαιολογια του για ποιο λογο πρεπει να εναι μικρο και αυτη λαθος ειναι διοτι το εχει θεσει μικρο εξ ορισμου και ευθυς εξαρχης. Για πιο λογο πρεπει να το διαλεγουμε μικρο πρεπει να πει οχι για ποιο λογο πρεπει να ειναι μικρο εξ ορισμου.
Δεν πρεπει να κοιταμε τσατ τζι τζι πι.Πρεπει να κοιταμε τα καλά βιβλια 🙂

Τον Κάππο, Κωνσταντίνε, τον έχω….
Διδάχτηκα το βιβλίο του, στο πρώτο έτος, παρόλο που δεν τον είχα καθηγητή, αφού είχε πάρει σύνταξη όταν μπήκα στο Πανεπιστήμιο.
Είχα την εντύπωση ότι είναι πανεπιστημιακό βιβλίο Μαθηματικών και όχι διδακτικό εγχειρίδιο Φυσικής για το Λύκειο!!!
Ξαναπάμε λοιπόν επιμένοντας στην ιεροσυλία 🙂
Το Chatgpt δεν όρισε το dx ως απειροστό!!! Δες το κείμενο που ανέβασα. Είπε αυθαίρετα ορίζουμε έναν μικρό αριθμό … Άλλο το μικρό, άλλο το απειροστό!
Και στο παράδειγμα που χρησιμοποίησε για την συνάρτηση y=x^2 στο σημείο x=2, την πρώτη φορά πήρε dx=0,1 και την δεύτερη φορά dx=1.
Ποιο από αυτά τα δύο είναι όριο του x τείνοντος στο μηδέν;
Κανένα!
Συνεπώς πεπερασμένη τιμή έδωσε στο dx για να δείξει ότι η σωστή χρήση του είναι να είναι “μικρό”! Τώρα πώς από το μικρό θα φτάσουμε στο απειροστό και στο όριο, είναι μια άλλη συζήτηση…

Κωνσταντίνε κοιτάζουμε τα πάντα.
Την ΤΝ, τα βιβλία Μαθηματικών, τις παρουσιάσεις των βιβλίων Γενικής Φυσικής, αυτές των βιβλίων Θεωρητικής Μηχανικής, βιβλία Ηλεκτρισμού και Ηλεκτρολογίας, σχολικά βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής.
Κοιτάζουμε και τα σχόλια συναδέλφων.
Έτσι μπορεί να καταλάβουμε το αυστηρά σωστό.

Θα συμφωνήσω κάπως με ότι είπες πριν:
Στο παιδαγωγικο κομματι δεν μπορω να επιμενω γιατι εκει τα πραγματα ειναι υποκειμενικα…
Περίπου υποκειμενικά διότι υπάρχουν τεχνικές που έχουν αποδώσει και άλλες με οικτρά αποτελέσματα.

Στο κείμενό μου θεωρώ πιο σοβαρά δύο σημεία:
https://i.ibb.co/tpMT06fh/11.png

Όντως θα έρθει η ώρα της αυστηρής θεμελίωσης.
Το άλλο:
https://i.ibb.co/r8nPZ88/22.png

Με απασχολεί περισσότερο να καταλάβει ο άλλος (επικοινωνία) παρά να με χαρακτηρίσουν “προσεκτικό ομιλητή”.

Ενταξει Διονυση δεν θα τσακωθουμε 🙂 Aν προκειται για διδακτικη μεθοδο μπορει να εχω εγω αδικο. Αν προκειται ομως για το τι ισχυει στην πραγματικοτητα τοτε ισχυει οτι λενε τα εγκυρα βιβλια. Του Καππου ειναι τετοιο. Και για θεματα Μαθηματικων,βιβλια Μαθηματικων κοιταμε δεν κοιταμε εγχειρίδια Φυσικής για το Λύκειο. Τελικα εσυ επιμενεις οτι το dx ειναι εξ ορισμου πολυ μικρο ή απειροστο; Η οτι συνηθως το διαλεγουμε μικρο διοτι ετσι βολευει οπως πχ σε μιά γραμμικοποίηση; Γιατι με μπερδεψες ολίγον.

Oχι Γιαννη δεν κοιταζουμε τα παντα. Στο ιντερνετ βρισκεις και οτι ο Γαιδαρος πεταει. Αυτα ειναι Μαθηματικα αιωνων. Για τον ορισμο του διαφορικου της ανεξαρτητης μεταβλητης δεν θα κοιταξω δεκα πηγες για να βγαλω το ρεζουμε. Αν κοιταξω εναν Κάππο και εναν Σπίβακ αυτο αρκει. Δεν θα μπαινω τσατ τζι τζι πι ουτε θα ρωταω συναδελφους. Εγω ετσι λειτουργω δεν ξερω εσυ.

Κωνσταντίνε η ανάρτηση δεν είχε στόχο τον ορισμό του διαφορικού.
Σε μια τέτοια συζήτηση ανοίγεις φυσικά έγκυρα βιβλία Μαθηματικών και όχι Φυσικής ή Ηλεκτρολογίας. Αυτά όμως τα ανοίγεις όταν θέλεις να δεις πως χρησιμοποιούνται τα διαφορικά σε εφαρμογές. Εκεί τα βιβλία Μαθηματικών χάνουν.

Ο στόχος μου ήταν πως θα περάσουμε δύσκολες έννοιες με απλό τρόπο βασιζόμενοι στα απλά που γνωρίζουν. Θέμα διδασκαλίας δηλαδή.

Ανέφερα την ΤΝ κα τα σχόλια μεταξύ πολλών άλλων για να πω ότι ψάχνουμε τα πάντα και κάτι βρίσκουμε. Παράδειγμα:
Ήξερα την παρουσίαση της διαστολής χρόνου με το γνωστό κινούμενο βαγόνι και μου άρεσε.
Βρήκα όμως το ρολόι του Επστάιν και κατάλαβα ότι είναι πολύ καλύτερος τρόπος παρουσίασης. Αν η ΤΝ η το σχόλιο κάποιου φίλου μου δείξει κάτι καλύτερο είμαι πρόθυμος να το υιοθετήσω.

Κωνσταντίνε, το θέμα δεν είναι αν τα μαθηματικά ορίζουν το dx με τον ένα ή άλλο τρόπο.
Το ζήτημα είναι να πας στην Α΄ Λυκείου και να περάσεις στα παιδιά την σημασία της στιγμιαίας ταχύτητας, χωρίς να τους μπλέξεις με όρια και με άγνωστες …λέξεις!
Εκεί λοιπόν θα μιλήσεις για πολύ – πολύ μικρά χρονικά διαστήματα, χωρίς να μιλήσεις για όριο του Δt και το κλάσμα Δx/Δt θα το προσεγγίσεις με πολύ μικρές μετατοπίσεις και πολύ μικρά χρονικά διαστήματα. Αυτό για να μπορέσουν να καταλάβουν την έννοια.
Αυτό που πρέπει να ξεκαθαριστεί στη συνέχεια, είναι η διαφορά της μέσης με τη στιγμιαία ταχύτητα. Στο σημείο αυτό, πρότεινα σε πρόσφατη συζήτηση τους συμβολισμούς:
υμ=Δx/Δt για την μέση και υ=dx/dt για τη στιγμιαία
αλλά την 2η σαν “μπλογκ” χωρίς να το σπάνε σε κλάσμα. Αλλά αυτό σαν συμβολισμό, ώστε να μην τα μπερδεύουν…
Όμως αν χρειαστεί (σε κάποιο πείραμα για παράδειγμα να υπολογίσουν στιγμιαία τιμή ταχύτητας), ας το σπάσουν… Δεν χάθηκε ο κόσμος.
Επί της ουσίας δηλαδή με καλύπτει το συμπέρασμα του Chatgpt ότι:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhckEjA4Tr-zYk0KyrSAOvDPRzQziAOG6JqZawVP47yW-_dRf7M9QyeQt0I9axE2oFlquKnwgWpZzxhWv-Hvl1CKv9YeaySB4eMCEP2jEo7YXRLoOq5ginrj8hGqhRQMKDpzamu8_PeSXOdwOH_sVsXgFofKMOklGrff3Pi9pFXtO_HpQ1AAWtIJ2aBizzj/w640-h181/%CE%A3%CF%84%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B9%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF%20%CE%BF%CE%B8%CF%8C%CE%BD%CE%B7%CF%82%202026-05-16%20111340.png

Διονύση με το τελευταιο σου σχολιο συμφωνω σε ολα.

Αλλωστε Διονύση περιεγραψα πως τα εξηγω στην Α Λυκειου στο τελευταιο μου σχολιο εδω Θα φτιάξω μία μακαρονάδα σε χρόνο dt. (και με θετική ενέργεια!) Περιπου οπως λες και εσυ. Βλεπεις να χρησιμοποιω ορια και αγνωστες λεξεις;
Αρα που διαφωνουσαμε τοση ωρα;

Εγώ διαφωνώ.
Και τα δύο ως πηλίκα μου παρουσιάστηκαν (1972-1973) και όχι ως συμβολισμοί.
Και τα δύο τα παρουσίαζα (διδάσκοντας) ως πηλίκα με καλά αποτελέσματα.
Στην παρούσα ανάρτηση μιλάω για πηλίκα και όχι για συμβολισμούς.
Ο μόνος συμβολισμός που χρησιμοποίησα είναι το d.
Δεν παίζω με σύμβολα που δεν είναι κατανοητά στον μαθητή.
Δεν λέω ότι η στιγμιαία ταχύτητα είναι κάτι το μυστηριώδες ή ένα όριο που συμβολίζεται με dx/dt.
Την ορίζω ως πηλίκο δύο κατανοητών τελικά ποσοτήτων.

Γιάννη, παραπάνω είπα ότι στη διδασκαλία για να καταλάβουν οι μαθητές την έννοια, χρησιμοποιούμε το κλάσμα βρίσκοντας κάθε φορά το πηλίκον.
Στη συνέχεια όμως για να μπορέσουν να ξεχωρίσουν τη μέση με τη στιγμιαία τιμή της ταχύτητας (αλλά όχι μόνο της ταχύτητας, αλλά και κάθε ρυθμού…) πρότεινα τον συμβολισμό, όπου βλέποντας ο μαθητής dx/dt δεν θα ψάχνει να βρει τιμές για αριθμητή και παρονομαστή, αλλά την εξίσωση π.χ. υ=αt…
Και αν αυτό είναι “αυτονόητο” για την ταχύτητα, δεν είναι για παράδειγμα για την ισχύ (εκεί έγινε η πρόταση).
Αλλά ακόμη και στην Γ΄ τάξη για παράδειγμα σε ένα πρόβλημα αυτεπαγωγής, καλό είναι να γίνεται διαχωρισμός της μέσης τιμής Δi/Δt και του ρυθμού di/dt που οδηγεί σε στιγμιαία ΗΕΔ.
Βρίσκουμε (μέση) ΗΕΔ από μεταβολή της μαγνητικής ροής (Ε=-ΔΦ/Δt) και χρησιμοποιούμε την ίδια εξίσωση αντί για την Ε=-dΦ/dt για τη στιγμιαία… που οδηγεί στο εναλλασσόμενο ρεύμα.
Αυτά πώς λέτε ότι εισπράττονται από το μέσο μαθητή;

Γιαννη με οποιο τροπο και να τα παρουσιασεις,τελικα αν ο μαθητης μπορει να τα χειριζεται με επιτυχια,ακομα και αν δεν καταλαβαινει τιποτα σε βαθος,θα γραψει καλα και θα μπει στο Πανεπιστημιο.Εκει υποτιθεται οτι θα τα μαθει σωστα. Μπορεις να μου εξηγησεις γιατι οι περισσοτεροι εν ενεργεία καθηγητες νομιζουν οτι στην εξισωση f'(x)=dx/dt το dt παντα ειναι απειροστο; Πιθανον γιατι το εμαθαν στραβα απο το Λυκειο. Εγω παντως δεν το διδασκω ετσι. Και την δικη μου μεθοδο την εχω αυτοαξιολογησει σε βαθος χρονου,και την βρισκω καλη.

Κωνσταντίνε αυτή η ταύτιση παραγώγου πηλίκου και κατανοητή μου είναι και ωραία τη βρίσκω.
Διότι πρώτα έρχεται η ιδέα. Λόγου χάριν ο χρυσός κανόνας της Μηχανικής.
Έτσι ορίζεις το έργο ως F.x και όχι ως F.x^2.
Μετά το ντύνεις με ακριβά ρούχα διότι ένα μαθηματικό οικοδόμημα πρέπει να είναι αυτοσυνεπές.
Πρώτα σκεφτόμαστε τις δυναμικές γραμμές και μετά ντύνουμε τη ροή ως ολοκλήρωμα.
Η ιδέα της στιγμιαίας ταχύτητας έρχεται ανθρώπινα και μετά φοράει μαθηματικό ένδυμα. Δεν έρχεται κάτι μαθηματικά ντυμένο και προσπαθούμε μετά να το αποκωδικοποιήσουμε.
Έτσι πολύ καλά οι συνάδελφοι (και εγώ) έχουμε στο μυαλό μια διαίρεση μικρότατων ποσοτήτων.

Όμως….
Ο Αρχιμήδης ήξερε την παράγωγο;

Έχω πληρώσει ακριβά την αντίθετη οδό και ταλαιπωρήθηκα πολύ να καταλάβω την ουσία πραγμάτων που χειριζόμουν μαθηματικά με΄άνεση.

Ο ορισμός της ταχύτητας προκύπτει από την ανάγκη να τη μετρήσουμε:
https://i.ibb.co/0yMQX4Lk/33.png

Αργότερα παρουσιάζεται η ανάγκη να ορίσουμε την παράγωγο.
Όταν αυτή ορισθεί (τον τάδε αιώνα από τους….) ξαναπαρουσιάζουμε τη στιγμιαία ταχύτητα με τη συνδρομή της παραγώγου.
Η μάθηση έχει κάτι το ελικοειδές (για να μην πω “κυκλικό”).

Εμφανίζεται ένα κουίζ ίσως στο Mind your decisions.
«Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι x και αυξάνεται με ρυθμό α.»
-Κύριε με ποιο ρυθμό αυξάνεται το εμβαδόν του.
-Είναι πρόβλημα που απαιτεί την έννοια της παραγώγου που θα μάθεις στη Γ΄.
-Θα πάω στην κατεύθυνση Υγείας.
Κοτζαμ Φέυνμαν μιλούσε σε κοινότατο κοινό για τις πιθανότητες με στρεφόμενα βελάκια χωρίς να τους πει:
-Δυστυχώς αγνοείτε και τους μιγαδικούς και το μέτρο τους.
Φέυνμαν δεν είμαστε αλλά υπεκφυγές του τύπου «Θα μάθεις αργότερα»;;
Εγώ σε ένα παιδί ή ενήλικα που δεν ξέρει παραγώγους θα το παρουσίαζα χωρίς Άλγεβρα. Διότι «Η Γεωμετρία έχει μάτια». Επστάιν έφα!
Και ας κουραστώ περισσότερο κάνοντας σχήμα:
https://i.ibb.co/9mn598N2/33.png

Όσοι πιτσιρικάδες θα μάθουν την παράγωγο θα μπορούν να λύνουν τέτοια προβλήματα.
Όμως θα καταλαβαίνουν τι συμβαίνει ή θα κάνουν κάτι μηχανικά όπως τον αλγόριθμο της διαίρεσης που εκτελούν χωρίς να τον καταλαβαίνουν;
Τι σημαίνει “καλλιέργεια” στα Μαθηματικά;

Στην διαδικασία της μέτρησης οπως γραφεις με Δt = 2s,1s,…,0.1s ,…,0,0001s μικραίνεις , μικραίνεις καποια στιγμη σταματας.Σωστο.Αυτη την διαδικασία την λεω και εγω στο σχολειο. Η Μετρηση Δx/Δt ειναι άψογη οπως ειπες.Δεν ειμαστε μυστήριοι μας αρεσει.Εστω οτι αυτο τότε το ονομασεις dx/dt.Νατο το υ= dx/dt.Λαθος διοτι αυτο ειναι παλι μια προσεγγιση και διοτι κάποιος άλλος μπορεί να πάρει Δt =0,00000000000001s και να βρει άλλο πιο καλό.Τελικα οι στιγμιαιες ταχυτητες ειναι πολλές η’ μια; Υπάρχει προβλημα λογικης σε αυτή την μέθοδο. Οταν αργοτερα θα μαθουμε παραγωγους θα δουμε οτι η εξίσωση υ=dx/dt ειναι απολύτως ακριβης. Δεν ειναι προσεγγιστικη.Πως γινεται αυτο; Αντιφαση! Τι ειναι τελικα τα dx,dt ;Οσο μικρα και να ειναι απολυτη ακρίβεια δεν έχεις. Πρεπει τωρα να ξεμαθουμε οτι μαθαμε και να τα μάθουμε αλλοιως.Αν μπορεσουμε.Δεν μου αρεσει να διδασκω με αντιφάσεις.Προτιμω στην Α στο υ=dx/dt, το dx/dt να είναι ενα συμπαγές συμβολο και οχι ενα λαθος πηλικο μικροτατων ποσοτητων.

Κωνσταντίνε δεν θα έλεγα “αντιφάσεις”. Ίσως “χωρίς μαθηματική αυστηρότητα”.
Όμως το προτιμώ αν ο άλλος καταλαβαίνει και αν κάνω οικονομία.
Καταλαβαίνουν γρήγορα ότι το d τάδε δεν είναι συγκεκριμένο αλλά όσο μικρό θέλουμε.
Η περιγραφή , οι ορισμοί, οι επιλύσεις ασκήσεων διευκολύνονται και λόγω οικονομίας.
Δεν έχουμε οικονομία λέγοντας:
-Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η ποσότητα την οποία πλησιάζει το πηλίκο Δx/Δt όταν το Δt μικραίνει.
Έπειτα είναι πιθανό ένα “οπτικό” λάθος. Να προσέξουν μόνο τη σχέση Δx/Δt και όχι την ουρά.
Επίσης αυτό το “πλησιάζει” ή “τείνει” ή “έχει όριο” δεν είναι πιο κατανοητό.

Έπειτα έχω καλή παρέα. Τα άκρως αποτελεσματικά βιβλία Αλεξοπουλου, Κάρκαλου κ.α. που με Ντε μιλούσαν και μας βοήθησαν να καταλάβουμε καλά τέτοιες έννοιες.

(Είδες αυτό με τον Κρητικό γέροντα φαντάζομαι).

Ναι Γιάννη το είδα πολυ καλό

Με άλλα λόγια Γιάννη, προτείνω διαφορετικό συμβολισμό για τη μέση τιμή κάποιου ρυθμού μεταβολής μεγέθους Χ, ΔΧ/Δt και διαφορετικό συμβολισμό dX/dt , για τον στιγμιαίο ρυθμό, χωρίς αυτό να είναι κάποια τρομερή μαθηματική ή φυσική έκπτωση…

Καλημέρα Άρη.
Ωραίο το σχόλιο. Συμφωνείς τρόπον τινά με τον Κωνσταντίνο.

Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Άρη.
Γλακώ έστω καθυστερημένα να κάμω μια διόρθωση επι της διορθώσεως,
στην αρχική έκφραση του Κυρ ,που αφορά το γέροντα Κρητικό.
Στην αρχική ανάρτηση λοιπόν,στο τέλος της, ο Κυρ είχε γράψει:
“Γλάκηξε να βγει στον καφά μου και του την έπαιξα.”
Ήταν σωστό το “γλάκηξε” μια και το “γλακώ” σημαίνει τρέχω γρήγορα.
Για να την προσεγγίσω στην κρητική καθομιλουμένη του “είπα” πως θα την έλεγα
…Εγλάκηξε(νε)…και ο Κυρ μου απαντά …” Παντελή έφαγα την αύξηση”
Πρόσθεσε λοιπόν την “αύξηση” ομπρός (Ε) και πίσω (νε) αλλά του ξέφυγε το (γ) και την έγραψε “Ελάκιξενε” που στη Κρήτη εννοούμε …”το ‘βαλε στα πόδια” και δεν ταιριάζει για να φτάξει στο καφά του γέροντα.
Μάλλον τον είδε κι εφοβήθηκε τη κατσούνα.
Γιάννη συγνώμη για την πολυλογία και για την καθυστέρηση.

Καλημέρα Παντελή.
Ευχαριστώ.
Κατέχω το “γλακώ” αλλά τώρα έφαγα το γ από κακή χρήση του ντηλήτ.
Ξαναδιορθώνω.

Καλήμερα σε όλους. Φανταστείτε έναν Αγγλο που του αρέσει πολύ η Ελλάδα να έχει πάει σε ένα σχολείο στην Αγγλία να μάθει ελληνικά για να ταξιδέψει στην Ελλάδα και να μείνει κιόλας. Πάει στην Κρήτη και ακούει γλάκηξε και ξαμώνω και λέει ωχ τίποτα δεν έμαθα τελικά!

Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Οι ντοπιολαλιές έχουν ιστορική αξία και αξίζει να διατηρούνται τουλάχιστον …από τους ντόπιους αλλά και τους Δασκάλους .
Στο Πανεπιστήμιο στο Ρέθεμνος ,στο παιδαγωγικό τμήμα προσχολικής εκπαίδευσης έχει μπεί σαν μάθημα (νομίζω επιλογής) η διδασκαλία της Κρητικής διαλέκτου.
Εννοείται πως οι ντόπιοι ξέρουν και την νεοελληνική για να συνεννοηθεί ο Άγγλος και κάτι να μάθει επι πλέον από την επίσκεψή του στη νήσο .

συνέχεια
Τα διαφορικά δεν είναι «στοιχειώδεις ποσότητες» αφού όπως απορρέει από τον αυστηρό επιστημονικό τους ορισμό είναι ποσότητες ανάλογες με συντελεστή αναλογίας τη σχετική παράγωγο. Αν η παράγωγος σε ένα σημείο μιας συνάρτησης f(t ) είναι 2 τότε τα σχετικά διαφορικά dt κα dx  θα μπορούσε να ήταν 0,0001 και 0,0002 όπως το ίδιο καλά θα μπορούσε να ήταν 2000 και 4000 …
Το «ντε κάτι» είναι προϊόν ΠΟΠ κατοχυρωμένο στα Μαθηματικά και δεν είναι δίκαιο να “ρίχνουμε στην αγορά”  κάτι μη γνήσιο με την ίδια ετικέτα.

Καλησπέρα Μανώλη.
Αν θέλεις πες το λάθος αλλά ένα λάθος που βολεύει και ίσως επιβάλλεται μια και γίνεται κατανοητό εύκολα. Επίσης οδηγεί σε υπολογισμούς και αποδείξεις εύκολα.
Παράδειγμα:
https://i.ibb.co/zh2tTrcq/55.png

Την απόδειξη την παρουσιάζαμε κάποτε στην Α’ Λυκείου.
Το μικρό βελάκι dυ στο σχήμα γεωμετρικά υπολογιζόταν (dυ=υ.dφ) και όχι ως διαφορικό. Πως αλλιώς θα χειριστούμε τέτοιους υπολογισμούς; Μιλώντας για διαφορικά σε παιδιά της Α’ Λυκείου;
Μήπως να μιλάμε μόνο για ευθύγραμμες κινήσεις ώστε να μην πέσουμε σε κακή χρήση Μαθηματικών;
Το dυ δεν το θέλω μόνο για να ορίσω τη στιγμιαία ταχύτητα.

Ο Αλεξόπουλος στο Γυμνασιακό του βιβλίο δεν μιλούσε για διαφορικά όταν έλεγε dx , dυ κ.λ.π.
Ο Αρχιμήδης δεν ήξερε ορισμό του διαφορικού.
Δηλαδή και λάθος να κάνω έχω καλή παρέα.

Έτσι θα έλεγα ότι μια μικροκακοποίηση όχι μόνο επιτρέπεται αλλά επιβάλλεται.
Σύντομα κάποια παιδιά θα μάθουν τι είναι το διαφορικό. Αν σκεφτούν δεν θα σου χρεώσουν τις απλοποιήσεις που έκανες.

Σε άλλη συζήτηση είχα πει ότι “χρησιμοποιώ τα Μαθηματικά αλλά δεν επιτρέπω να με χρησιμοποιούν αυτά”.

Φυσικά γνωρίζω ότι το σύμβολο δεν είναι πηλίκο.
Γνωρίζω τι είναι το διαφορικό. Αλλά:
https://i.ibb.co/C3MKXxNF/77.png

Πως αλλιώς θα παρουσιάζαμε τη λύση του προβλήματος σε παιδιά που δεν ξέρουν παραγώγους ούτε διαφορικά;
Αντικαθιστώντας με το Δέλτα;

Να επαναλάβω προηγούμενο σχόλιό μου:
Εμφανίζεται ένα κουίζ ίσως στο Mind your decisions.
«Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι x και αυξάνεται με ρυθμό α.»
-Κύριε με ποιο ρυθμό αυξάνεται το εμβαδόν του.
-Είναι πρόβλημα που απαιτεί την έννοια της παραγώγου που θα μάθεις στη Γ΄.
-Θα πάω στην κατεύθυνση Υγείας.
Κοτζαμ Φέυνμαν μιλούσε σε κοινότατο κοινό για τις πιθανότητες με στρεφόμενα βελάκια χωρίς να τους πει:
-Δυστυχώς αγνοείτε και τους μιγαδικούς και το μέτρο τους.
Φέυνμαν δεν είμαστε αλλά υπεκφυγές του τύπου «Θα μάθεις αργότερα»;;
Εγώ σε ένα παιδί ή ενήλικα που δεν ξέρει παραγώγους θα το παρουσίαζα χωρίς Άλγεβρα. Διότι «Η Γεωμετρία έχει μάτια». Επστάιν έφα!
Και ας κουραστώ περισσότερο κάνοντας σχήμα:
https://i.ibb.co/9mn598N2/33.png
Όσοι πιτσιρικάδες θα μάθουν την παράγωγο θα μπορούν να λύνουν τέτοια προβλήματα.
Όμως θα καταλαβαίνουν τι συμβαίνει ή θα κάνουν κάτι μηχανικά όπως τον αλγόριθμο της διαίρεσης που εκτελούν χωρίς να τον καταλαβαίνουν;
Τι σημαίνει “καλλιέργεια” στα Μαθηματικά;

Καλησπέρα στους συμμετέχοντες στην πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση που ξεκίνησε με αφορμή την σχετική πρόσφατη ανάρτηση του Κωνσταντίνου με τον πολύ χαρακτηριστικό και εύστοχο τίτλο «Θα φτιάξω μια μακαρονάδα σε χρόνο dt και με θετική Ενέργεια».
Θεωρώ και εγώ ότι το να χρησιμοποιούμε την έκφραση «σε χρόνο ντε τε» για να εκφράσουμε το πολύ σύντομο, «το στιγμιαίο» είναι λάθος. Ένα λάθος που οφείλεται σε κάποια σύγχυση που απορρέει από τον τρόπο γραφής των σχετικών συμβολισμών.
Όσον αφορά σε αυτό δηλαδή στη γραφή των συμβολισμών:
https://i.ibb.co/RwpN6PY/1779208668-425.jpg

Καλησπέρα Γιάννη
Στην πολύ ωραία ανάρτηση σου αναδεικνύεις ότι είναι βολικό να χαρακτηρίζουμε κάποιες ποσότητες εκ των πραγμάτων πολύ μικρές και να χρησιμοποιούμε τον “βολικό” όρο στοιχειώδεις ποσότητες και να πορευόμαστε. Αυτό που λες το κάνουν τα βιβλία και το κάνουμε και εμείς στη διδασκαλία μας – και εγώ αυτό έκανα και αυτό το συμβολισμό “d κάτι” χρησιμοποιύσα για να δηλώσω κάτι πολύ μικρό κάτι “στοιχειώδες”. Κάποιες φορές έκανα μια νύξη σχετικά. Θα ήταν πιο δίκαιο να χρησιμοποιούσαμε κάποιο άλλο σύμβολο όπως κάποια βιβλία κάνουν όπως πχ “δ κάτι”. μια και το “d κάτι” είναι κατοχυρωμένο ως διαφορικό από τους εταίρους μας τους μαθηματικούς. Αυτό που δε μου αρέσει τελικά είναι ότι και με ευθύνη εμάς των φυσικών διαστρεβλώνεται ως προς τη σημασία της μια αυστηρά ορισμένη μαθηματική ένοια. Πως να το πω με ενοχλεί κάπως όπως όταν κάποιος λέει “να έρθουν όλα δεξιά” εγώ ποτέ δεν το λέω αν και μάλλον δεν είμαι αριστερός.
Αν πάλι κάτι επικρατήσει γλωσσικά .. τελικά υποκύπτουμε. All right εντελώς αυθόρμητα λένε οι Άγλλοι ..
Εγώ στα προηγούμενα σχόλια μου προσπάθησα να εξηγήσω ότι ένεκα της γραφής από εμάς των συμβόλων που σχετίζονται με την παράγωγο δημιουργείται κάποια σύγχυση.

Καλησπέρα Γιαννη και Μανώλη.Γιάννη στην εξίσωση F=dp/dt τα διαφορικα dp,dt δεν ειναι μικροτατες ποσοτητες.Καμια απο τις ποσοτητες dp,dt,dx,dυ που εμφανιζονται στον υπολογισμο που κάνεις δεν ειναι μικροτατη. Ειναι διαφορικα τα οποια τα διαιρούμε τα απλοποιουμε και τα χειριζόμαστε οπως θελουμε.

Μανώλη θα μπορούσε να είναι δ μικρό αντί d.
Θα μπορούσε να είναι οτιδήποτε.
Στα βιβλία που είχα σαν μαθητής (Αλεξόπουλος κ.ά.) ήταν d.

Κωνσταντίνε ξέρω τι είναι τα διαφορικά στη σχέση F=dp/dt.
Στους άλλους υπολογισμούς είναι μικρότατες ποσότητες.
Όταν λύνονται τέτοιες ασκήσεις παρουσία μαθητών χρησιμοποιούνται οι συμβολισμοί Δx , Δυ , Δt.
Με την υπόμνηση όμως ότι τείνουν στο μηδέν.
Φυσικά και δεν εκλαμβάνονται ως διαφορικά.

Να μην επαναλάβω για τον Αρχιμήδη που δεν τα ήξερε.

Μια επαναληπτική άσκηση, αφιερωμένη στους συναδέλφους που διδάσκουν Φυσική στην Α΄ Λυκείου, μπαίνοντας στην περίοδο των εξετάσεων….

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ καλή. Πολύ διδακτική και περιεκτική.

Όμορφη και πολύ καλή για επανάληψη.

Καλημέρα Χριστόφορε, καλημέρα Παύλο.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλημέρα Διονύση.
Στην ωραία άσκηση “η δύναμη καταργείται” …
Η δική σου δύναμη να παραμένει υψηλά σταθερή…διδάσκοντας!
Να είσαι πάντα καλά

Καλό απόγευμα και από εδώ Παντελή.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο, να είσαι καλά.

Ένα πολύ καλοδουλεμένο θέμα κατανόησης στάσιμου κύματος — όχι «υπολογιστικό», αλλά βαθιά εννοιολογικό. Έχει αρκετές αρετές, ιδιαίτερα διδακτικά.
Μου αρέσει ιδιαίτερα γιατί: το θέμα έχει και μια μικρή «αισθητική φυσικής»: ο μαθητής καλείται να παρακολουθήσει τη χορδή σαν ζωντανό σύστημα, όχι σαν άσκηση αντικατάστασης τύπων.
Αυτό είναι σπάνιο και παιδαγωγικά πολύτιμο.
Πολύ εύστοχη η αρχική «παγίδα» με το Α και το Γ:
«Ποιο έχει μεγαλύτερη ταχύτητα;»
Ο μαθητής που σκέφτεται μηχανικά θα απαντήσει πιθανότατα «το Α». Όμως η σωστή συλλογιστική οδηγεί στο ότι και τα δύο έχουν μηδενική ταχύτητα εκείνη τη στιγμή — για τελείως διαφορετικούς λόγους. Αυτό είναι εξαιρετικό σημείο φυσικής σκέψης.
Επίσης, η επιλογή στιγμών όπως: 3T/2, 3T/4, 4T/3 είναι πολύ καλή, γιατί αποφεύγει τις «εύκολες» συμμετρικές χρονικές στιγμές και αναγκάζει τον μαθητή να παρακολουθήσει πραγματικά την εξέλιξη της ταλάντωσης των υλικών σημείων.
Αν ήθελα να κάνω μία μόνο παρατήρηση, θα ήταν ίσως ότι το τελευταίο ερώτημα με το 4T/3 απαιτεί αρκετά ώριμη αίσθηση της ΑΑΤ και μπορεί να δυσκολέψει μαθητές που δεν έχουν εσωτερικεύσει καλά τη φορά κίνησης μετά τη διέλευση από τη θέση ισορροπίας. Αλλά αυτό δεν είναι αδυναμία· μάλλον είναι το σημείο που ξεχωρίζει την ουσιαστική κατανόηση από την αποστήθιση.
Θα μπορούσε άνετα να σταθεί ως απαιτητικό θέμα Β,

Καλό απόγευμα Τάσο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και τον καλό σου λόγο…

Καλημέρα. Διονυση συμφωνώ με τον Τάσο (γεια σου Τάσο), πολύ ωραίο θέμα.

Καλημέρα και από εδώ Παύλο.
Χαίρομαι που σου άρεσε.

Καλησπέρα Γιώργο.
“Αυτό δεν παραβιάζει ευθέως το γράμμα του OST, αλλά έρχεται σε αντίθεση με:

• την αρχή της μη ιδιοποίησης,
• την αρχή της ελεύθερης πρόσβασης όλων των κρατών,
• και την ιδέα ότι η Σελήνη αποτελεί “province of all mankind” (κοινή κληρονομιά όλης της ανθρωπότητας).”

Το άλλο με τον Τοτό το ξέρετε;

μάχη στα χαρακώματα

Καταλαβαίνω το πνεύμα του άρθρου, και υπάρχει πρόβλημα σχετικά με την κατάκτηση κ εκμετάλευση της Σελήνης, αλλά η χώρα που έχει κάνει τα περισσότερα βήματα για να το πετύχει δεν είναι η Αμερική.

Οι Αμερικανική κυβέρνηση τα τελευταία χρόνια κάνει δηλώσεις που σκοπό έχουν να δημιουργήσουν εντυπώσεις (ενώ παράλληλα χρηματοδοτούν με μεγάλα ποσά την space x ιδιωτική εταιρία του Elon Musk), για να κρύψουν το γεγονός ότι οι Κινέζοι προχωρούν στην κατάκτηση της Σελήνης με γρηγορότερο ρυθμό.

Το άρθρο αναφέρει ότι όποιος εγκατασταθεί πρώτος στον δορυφόρο μας, θα είναι σε πλεονεκτική θέση γιατί θα έχει πρόσβαση στους πάγους άρα στην δυνατότητα να έχει νερό. Δηλαδή ουσιαστικά ο πρώτος πάνω στην Σελήνη, αν θέλει δεν αφήνει περιθώριο στον δεύτερο ή σε κάθε επόμενο να δημιουργήσει αποικία.

Υπάρχουν αρκετά video στο youtube σχετικά με το θέμα. Το Κινέζικο διαστημικό πρόγραμμα προχωράει με κάθε δυνατή προσπάθεια να κοστίζει λιγότερο και να είναι αποτελεσματικότερο, από οτιδήποτε έχουν ανακοινώσει οι Αμερικάνοι.

Μην ξεχνάμε ότι η Αμερικάνοι είχαν πάντα την τάση να προβάλουν την τεχνολογική τους υπεροχή, σκεφτείτε τα διαστημικά λεωφορεία, αλλά παρόλα αυτά οι Ρώσοι με συμβατικούς πυραύλους πραγματοποιούσαν τελικά αποστολές διάσωσης για Αμερικάνους αστροναύτες.

Καλημέρα Κώστα

……………………………

Συμμερίζομαι την έκκληση

Ες αύριον “τα σπουδαία”

Τα λίγα που μετέθεσε η χθεσινή δυσοίωνη προτροπή
 
Το ζήτημα που πραγματεύεσαι Κώστα, εκτιμώ ότι ακουμπά τον κύριο στόχο των διαστημικών ταξιδιών:

νέες επιστημονικές γνώσεις ή πολιτικές και τεχνολογίες ισχύος;

Αν αποδεχτούμε την υπόθεση ότι αυτά τα εγχειρήματα συμπίπτουν με κρίσεις,
όπως ο Ψυχρός Πόλεμος/ τότε ξεκίνησαν όλα,

ο «Πόλεμος των Άστρων», επί Ρ. Ρέιγκαν/ επιχειρήθηκε η ανάπτυξη της «Βόμβας Νετρονίων» και μας κληροδοτήθηκε η ανάπτυξη των διηπειρωτικών πυραύλων,

αλλά και ο σημερινός ταραγμένος κόσμος/ Ουκρανία, Παλαιστίνη, Ιράν,

η απάντηση κλείνει προς την δεύτερη εκδοχή.

Σχετικά με τις τεχνολογίες που προέκυψαν απ’ τα διαστημικά εγχειρήματα και είχαν καθοριστική συμβολή στα πεδία που μακελεύονται σήμερα στρατιώτες και άμαχοι,
καθοριστική σημασία φαίνεται να έχει η καθοδήγηση των βαλλιστικών πυραύλων και των drones απ’ τους τηλεπικοινωνιακούς δορυφόρους.

Η περιστολή των δορυφορικών δεδομένων στους αντιμαχόμενους, συσχετίζεται με αποτυχίες στα πολεμικά μέτωπα και όποτε παρέχονται αφειδώς, οι αντίπαλοι καθίστανται απόλυτα εύστοχοι.

Είτε είναι οι δορυφόροι Starlink, του Mask, είτε Ρώσικοι ή Κινέζικοι.
 
Γι’ αυτούς που θα καταφύγουν στην Τ.Ν., η απάντηση θα είναι αναμενόμενα «χλιαρή»:

η διαστημική εξερεύνηση έχει δύο πρόσωπα:


1. την ανθρώπινη αναζήτηση γνώσης,
2. και τον ανταγωνισμό ισχύος μεταξύ κρατών.


Στις περιόδους κρίσεων, το δεύτερο στοιχείο συνήθως ενισχύεται περισσότερο.

Συμφωνώ Γιώργο,

δυστηχώς η αναζήτηση, η εξερεύνηση, η ανάγκη για απαντήσεις

δεν είναι ο λόγος που θα αποκτήσουν οι άνθρωποι βάση στη Σελήνη.

Καλή συνέχεια.

Καλησπέρα Γιώργο και Κώστα.
Στο ερώτημα αν οι προσπάθειες για να βρεθούν όργανα διαφόρων χωρών στο νότιο πόλο της σελήνης οφείλονται σε προσπάθειες για:
Νέες επιστημονικές γνώσεις ή πολιτικές και τεχνολογίες ισχύος;
Και η δική μου γνώμη είναι βασικά το δεύτερο και ως πάρεργο το πρώτο.
 
Είπα να ψάξω λίγο τα πραγματικά δεδομένα του εγχειρήματος «νότιος πόλος σελήνης»
Ο νότιος πόλος της Σελήνης αποτελεί σήμερα την πιο περιζήτητη περιοχή στην εξερεύνηση του διαστήματος, λόγω της ύπαρξης πάγου νερού σε κρατήρες που βρίσκονται σε μόνιμη σκιά.Χώρες με αποστολές κοντά ή με επίκεντρο τον νότιο πόλο της Σελήνης

https://i.ibb.co/Q7bSTV9N/Capture852.jpg
Άρα μέχρι σήμερα.
ΙνδίαΤο πρόγραμμα Chandrayaan-3 πραγματοποίησε την πρώτη επιτυχημένη ομαλή προσγείωση κοντά στον νότιο πόλο της Σελήνης τον Αύγουστο του 2023. Το ρόβερ Pragyan και το σκάφος προσγείωσης Vikram πραγματοποίησαν αναλύσεις του εδάφους και της θερμοκρασίας.ΗΠΑ
 Ο δορυφόρος Lunar Reconnaissance Orbiter (LRO) της NASA χαρτογραφεί συνεχώς τον Νότιο Πόλο από το 2009. Παρέχει τα δεδομένα υψηλότερης ανάλυσης σχετικά με τις «ψυχρές παγίδες» όπου υπάρχει πάγος.
Οι αποστολές «Άρτεμις» προετοιμάζονται για μελλοντικές προσγειώσεις αστροναυτών κοντά στον Νότιο Πόλο.Εμπορικά σκάφη προσγείωσης όπως τα IM-1 και IM-2 μετέφεραν όργανα της NASA προς τις πολικές περιοχές το 2024–2025. Το IM-2 είχε ως συγκεκριμένο στόχο το όρος Mons Mouton κοντά στον νότιο πόλο.Στις αρχές του 2024, η αποστολή IM-1 (Odysseus) της Intuitive Machines, που εντάσσεται στο πρόγραμμα Commercial Lunar Payload Services (CLPS) της NASA, προσγειώθηκε κοντά στον κρατήρα Malapert A στην περιοχή του νότιου πόλου.Κίνα
Το κινεζικό πρόγραμμα «Chang’e» έχει τεθεί σε τροχιά γύρω από τη Σελήνη, έχει προσγειωθεί σε αυτήν και έχει συλλέξει δείγματα από την επιφάνειά της. Οι επικείμενες αποστολές «Chang’e-7» και «Chang’e-8» στοχεύουν συγκεκριμένα στην περιοχή του νότιου πόλου και υποστηρίζουν τα σχέδια για τη δημιουργία ενός μελλοντικού Διεθνούς Σταθμού Ερευνών στη Σελήνη σε συνεργασία με τη Ρωσία.
Η Κίνα έχει επεκτείνει την παρουσία της στη Σελήνη μέσω του προγράμματος Chang’e, εστιάζοντας σε μεγάλο βαθμό στον Νότιο Πόλο και στην αθέατη πλευρά της Σελήνης
Το σκάφος προσγείωσης Chang’e-4 και το ρόβερ Yutu-2 προσγειώθηκαν στη λεκάνη South Pole–Aitken (SPA) στην αθέατη πλευρά της Σελήνης το 2019 και παραμένουν σε λειτουργία
Το 2024, το Chang’e-6 επέστρεψε με επιτυχία δείγματα από τη λεκάνη SPA
Η επερχόμενη αποστολή Chang’e-7 (που έχει προγραμματιστεί για το 2026 περίπου) έχει σχεδιαστεί ειδικά για να προσγειωθεί στον νότιο πόλο με σκοπό την αναζήτηση πάγου νερού χρησιμοποιώντας έναν «ιπτάμενο ανιχνευτή»
Από τα παραπάνω φαίνεται ότι μέχρι σήμερα επιχειρησιακά μπροστά είναι η Κίνα γενικά.

Σήμερα νομίζω ότι συμβαίνει αυτό που καταληκτικά λέει ο Πλειώνης.
«Αυτό είναι ακριβώς το σημείο όπου συγκρούονται σήμερα:

• η αμερικανική – μαζί με τους συμμάχους της – πιο «φιλελεύθερη/εμπορική» ερμηνεία του διαστήματος, και
• η πιο κρατικο/εθνικο-κεντρική και πολυμερής προσέγγιση που προβάλλουν η Κίνα και άλλες χώρες.»

Συνωστισμός!

Πού;

Στον ένυδρο πόλο της Σελήνης.

Ποιοι θα θεωρηθούν δικαιωματικοί αποικιστές
και ποιοι παράτυποι μετανάστες;

….. θα δείξει

To video (σε Αγγλική γλώσσα)

Δείτε εδώ

Το κείμενο του video μεταφρασμένο:

Η τεχνική ικανότητα και τα μέσα για να επιδιώξουμε την εξερεύνηση του σύμπαντος.

Το να αγνοούμε αυτούς τους τεράστιους πόρους θα ήταν διαφθορά μιας ικανότητας που μας δόθηκε από τον Θεό.

Ενώ η NASA συνεχίζει να καθυστερεί το πρόγραμμα Artemis, η Κίνα μόλις έκανε κάτι που κανείς δεν περίμενε.

Στις 11 Φεβρουαρίου 2026, η Κίνα πραγματοποίησε αυτό που ονομάζεται δοκιμή διακοπής αποστολής στο Max Q (Max Q abort test).

Αν δεν ξέρετε τι σημαίνει αυτό, ας το θέσω έτσι: είναι μία από τις πιο επικίνδυνες και πιο κρίσιμες δοκιμές ασφαλείας σε ολόκληρη την ιστορία των επανδρωμένων διαστημικών πτήσεων. Είναι η δοκιμή όπου αποδεικνύεις ότι, αν όλα πάνε καταστροφικά στραβά κατά τη διάρκεια της πιο βίαιης φάσης της εκτόξευσης, το σύστημα διαφυγής μπορεί ακόμη να σώσει το πλήρωμα. Η NASA δεν έχει πραγματοποιήσει ακόμη αυτή τη δοκιμή για το Artemis. Η Κίνα την έχει ήδη ολοκληρώσει.

Και αυτό είναι μόνο η αρχή. Γιατί αυτό που κατασκευάζει τώρα η Κίνα δεν είναι απλώς ένας πύραυλος για τη Σελήνη. Είναι ένα ολόκληρο σύστημα τόσο ευφυώς σχεδιασμένο, που ίσως τελικά ξεπεράσει τη NASA στο ίδιο της το παιχνίδι.

Και εδώ βρίσκεται το πιο εντυπωσιακό σημείο: το κάνουν με λιγότερα χρήματα, λιγότερους πόρους και με μια στρατηγική που κάνει την προσέγγιση της NASA να φαίνεται, ειλικρινά, κάπως σπάταλη.

Αυτό δεν αφορά απλώς την τοποθέτηση μιας σημαίας. Η Κίνα παίζει ένα εντελώς διαφορετικό παιχνίδι. Και μέχρι να τελειώσετε αυτό το βίντεο, θα καταλάβετε γιατί η προσέγγισή της μπορεί πραγματικά να είναι ιδιοφυής.

Ας ξεκινήσουμε με το ίδιο το σχέδιο. Η προσέγγιση της Κίνας για την προσελήνωση ανθρώπων είναι θεμελιωδώς διαφορετική από εκείνη του Apollo. Και είναι διαφορετική και από αυτό που προσπαθεί να κάνει η NASA με το Artemis.
Το Apollo χρησιμοποιούσε έναν τεράστιο πύραυλο Saturn V για να στείλει τα πάντα στη Σελήνη με μία μόνο εκτόξευση: τη μονάδα διοίκησης, τη μονάδα υπηρεσίας και τη σεληνάκατο, όλα στοιβαγμένα μαζί.

Ήταν κομψό ως σύστημα, αλλά απαιτούσε έναν απολύτως γιγαντιαίο πύραυλο.
Το τρέχον σχέδιο Artemis της NASA χρησιμοποιεί παρόμοια φιλοσοφία με το Space Launch System, αν και προσθέτει την πολυπλοκότητα ενός ξεχωριστού συστήματος προσελήνωσης Starship.

Η Κίνα κοίταξε αυτό το σχέδιο και είπε: «Κι αν δεν το κάνουμε έτσι; Κι αν χωρίσουμε την αποστολή σε δύο εκτοξεύσεις;»

Δείτε πώς λειτουργεί:

Η πρώτη εκτόξευση: ένας πύραυλος Long March 10 στέλνει το επανδρωμένο διαστημόπλοιο, που ονομάζεται Mengzhou, σε σεληνιακή τροχιά με τρεις αστροναύτες επιβαίνοντες.

Η δεύτερη εκτόξευση: ένας ακόμη Long March 10 στέλνει τη σεληνάκατο, που ονομάζεται Lanyue, στην ίδια τροχιά.
Τα δύο οχήματα συναντώνται και συνδέονται μεταξύ τους, ακριβώς όπως κάνουν τα διαστημόπλοια στον Διεθνή Διαστημικό Σταθμό, μόνο που αυτό συμβαίνει 384.000 χιλιόμετρα μακριά από τη Γη, σε τροχιά γύρω από τη Σελήνη.

Δύο αστροναύτες μεταφέρονται στη σεληνάκατο. Ο τρίτος παραμένει στο Mengzhou.
Η σεληνάκατος κατεβαίνει στην επιφάνεια. Το πλήρωμα περνά περίπου 6 έως 8 ώρες εξερευνώντας, συλλέγοντας δείγματα και πραγματοποιώντας πειράματα.
Στη συνέχεια ενεργοποιούν το στάδιο ανόδου, εκτοξεύονται ξανά σε σεληνιακή τροχιά, συναντώνται με τον συνάδελφό τους που περιμένει στο Mengzhou, και όλοι επιστρέφουν μαζί στη Γη.

Αυτή η αρχιτεκτονική των δύο εκτοξεύσεων είναι πραγματικά ευφυής, επειδή σημαίνει ότι η Κίνα δεν χρειάζεται να κατασκευάσει έναν πύραυλο τόσο ισχυρό όσο ο Saturn V ή το SLS για να πετύχει μια επανδρωμένη προσελήνωση.
Μπορούν να χρησιμοποιήσουν έναν μικρότερο και φθηνότερο πύραυλο και απλώς να τον εκτοξεύσουν δύο φορές.

Ας μιλήσουμε λοιπόν γι’ αυτόν τον πύραυλο.
Ο Long March 10 είναι ένα πραγματικό θηρίο, αλλά δεν ανήκει στην κατηγορία των υπερβαρέων πυραύλων μεταφοράς. Έχει ύψος 90 μέτρα, χρησιμοποιεί διαμόρφωση τριών σταδίων συν δύο πλευρικούς προωθητές και έχει σχεδιαστεί ώστε να μεταφέρει 27 μετρικούς τόνους σε σεληνιακή τροχιά.
Για λόγους σύγκρισης, αυτό είναι ουσιαστικά αντίστοιχο με το τρέχον Space Launch System της NASA, έναν από τους ισχυρότερους πυραύλους που έχουν κατασκευαστεί ποτέ.

Αλλά εδώ βρίσκεται το έξυπνο σημείο. Αντί να αναπτύξει ολοκαίνουργιους πειραματικούς κινητήρες, η Κίνα χρησιμοποιεί τους κινητήρες κηροζίνης YF-100. Αυτοί οι κινητήρες είναι ήδη δοκιμασμένοι. Πετούν εδώ και χρόνια σε άλλους πυραύλους Long March.

Το πρώτο στάδιο και οι προωθητές χρησιμοποιούν από επτά τέτοιους κινητήρες ο καθένας, δίνοντας στον πύραυλο συνολική ώση περίπου 1.000 μετρικών τόνων κατά την απογείωση.

Το 2025, η Κίνα πραγματοποίησε μια μεγάλη δοκιμή στατικής πυροδότησης, όπου ενεργοποίησε ταυτόχρονα και τους επτά κινητήρες του πρώτου σταδίου.
Αυτή ήταν η μεγαλύτερη δοκιμή πυραυλικής πρόωσης που έχει πραγματοποιήσει ποτέ η Κίνα. Και πέτυχε. Δεν πρόκειται για παρουσίαση PowerPoint ή για ψηφιακή απεικόνιση. Πρόκειται για πραγματικό εξοπλισμό στερεωμένο σε βάση δοκιμών που παρήγαγε πραγματική ώση.

Ο Long March 10 έχει προγραμματισμένη δοκιμαστική πτήση για το 2027. Αν όλα πάνε καλά, ο πύραυλος θα είναι έτοιμος για επιχειρησιακές αποστολές μέχρι το 2028 ή το 2029.

Και υπάρχει ακόμη ένα στοιχείο σε όλο αυτό. Η Κίνα αναπτύσσει επίσης μια επαναχρησιμοποιούμενη παραλλαγή που ονομάζεται Long March 10A. Το σχέδιο είναι οι κύριοι προωθητικοί πυρήνες να πραγματοποιούν προσεδάφιση με ώση, παρόμοια με το Falcon Heavy της SpaceX, μόνο που αντί για σκέλη προσγείωσης, η Κίνα θέλει να τους «πιάνει» χρησιμοποιώντας ένα σύστημα από συρμάτινα καλώδια.
Ακούγεται τρελό, αλλά αν λειτουργήσει, θα μειώσει δραματικά το κόστος κάθε εκτόξευσης. Και το κόστος έχει τεράστια σημασία όταν σχεδιάζεις δεκάδες αποστολές για την κατασκευή μιας βάσης στη Σελήνη.

Η κάψουλα πληρώματος που θα μεταφέρει Κινέζους αστροναύτες στη Σελήνη ονομάζεται Mengzhou, που μεταφράζεται ως «σκάφος ονείρων». Είναι το διαστημόπλοιο επόμενης γενιάς της Κίνας, σχεδιασμένο ώστε τελικά να αντικαταστήσει τις κάψουλες Shenzhou που χρησιμοποιούνται σήμερα για αποστολές στον διαστημικό σταθμό.

Το Mengzhou είναι μεγαλύτερο, πιο ικανό και κατασκευασμένο εξαρχής για αποστολές βαθιού διαστήματος.
Η κάψουλα διαθέτει δύο κύρια τμήματα:

• μια μονάδα επιστροφής, όπου βρίσκεται το πλήρωμα,
• και μια μονάδα υπηρεσιών, η οποία παρέχει ενέργεια, πρόωση και υποστήριξη ζωής.

Για αποστολές προς τον Διεθνή Διαστημικό Σταθμό — ή μάλλον προς τον κινεζικό σταθμό Tiangong — το Mengzhou μπορεί να μεταφέρει έως και επτά αστροναύτες. Για σεληνιακές αποστολές, θα μεταφέρει τρεις.

Τώρα, εδώ είναι που τα πράγματα σοβαρεύουν. Το 2025, η Κίνα πραγματοποίησε μια δοκιμή διαφυγής μηδενικού υψομέτρου. Τοποθέτησαν την κάψουλα σε μια πλατφόρμα εκτόξευσης, ενεργοποίησαν τον πύργο διαφυγής και παρακολούθησαν την κάψουλα να απομακρύνεται εκρηκτικά από μια προσομοιωμένη αποτυχία πυραύλου.
Το σύστημα διαφυγής λειτούργησε άψογα. Ο πύργος απομάκρυνε την κάψουλα με ασφάλεια, τα αλεξίπτωτα αναπτύχθηκαν και οι αερόσακοι απορρόφησαν την πρόσκρουση κατά την προσγείωση.

Αλλά η πραγματική απόδειξη ήρθε στις 11 Φεβρουαρίου 2026. Η Κίνα πραγματοποίησε δοκιμή διακοπής αποστολής στο Max Q.
Το Max Q είναι η στιγμή κατά την άνοδο όπου η αεροδυναμική πίεση πάνω στον πύραυλο φτάνει στο απόλυτο μέγιστο. Είναι η χειρότερη δυνατή στιγμή για να πάει κάτι στραβά και το πιο δύσκολο σενάριο διαφυγής για να επιβιώσει κανείς. Αν το σύστημα διαφυγής σου μπορεί να λειτουργήσει στο Max Q, τότε μπορεί να λειτουργήσει οπουδήποτε.

Η Κίνα εκτόξευσε έναν Long March 10 σε μια υποτροχιακή δοκιμαστική πτήση. Τη στιγμή της μέγιστης δυναμικής πίεσης, ενεργοποίησαν τη διαδικασία διακοπής. Οι πύραυλοι διαφυγής πυροδοτήθηκαν, απομακρύνοντας την κάψουλα Mengzhou από τον πύραυλο. Η κάψουλα αποσυνδέθηκε καθαρά, ανέπτυξε τα αλεξίπτωτά της και προσγειώθηκε με ασφάλεια.

Αυτό είναι το είδος της δοκιμής που δεν πραγματοποιείς αν δεν είσαι πραγματικά σοβαρός σχετικά με το να βάλεις ανθρώπους πάνω στον πύραυλό σου. Αυτή είναι πειθαρχία πιστοποίησης για επανδρωμένες πτήσεις. Και υποδηλώνει ότι το χρονοδιάγραμμα της Κίνας για το 2029 δεν είναι απλώς προπαγάνδα. Εργάζονται πάνω στη λίστα ελέγχου που πραγματικά πρέπει να ολοκληρώσεις πριν στείλεις αστροναύτες στη Σελήνη.

Το επόμενο μεγάλο ορόσημο είναι μια δοκιμαστική πτήση σε τροχιά που έχει προγραμματιστεί για το 2026, όπου το Mengzhou θα συνδεθεί με τον διαστημικό σταθμό Tiangong, αποδεικνύοντας ότι όλα τα συστήματα λειτουργούν στο πραγματικό διαστημικό περιβάλλον.

Η σεληνάκατος ονομάζεται Lanyue. Το όνομα προέρχεται από ένα ποίημα του Mao Zedong: «Μπορούμε να αγκαλιάσουμε τη Σελήνη στον ένατο ουρανό». Είναι συμβολικό, αλλά ταυτόχρονα πρόκειται για μια μηχανή 26 τόνων σχεδιασμένη να κρατήσει δύο ανθρώπους ζωντανούς στην επιφάνεια της Σελήνης.

Το 2025, η Κίνα πραγματοποίησε δοκιμή προσεδάφισης και απογείωσης της σεληνακάτου Lanyue. Δεν επρόκειτο για πλήρη πρόβα στο διάστημα. Ήταν μια επίγεια δοκιμή σε εγκατάσταση σχεδιασμένη να προσομοιώνει τη σεληνιακή βαρύτητα και τις συνθήκες της επιφάνειας. Ωστόσο, επικύρωσε τους κινητήρες καθόδου, τους κινητήρες ανόδου, τα σκέλη προσγείωσης και τα συστήματα ελέγχου.

Γιατί έχει σημασία αυτό; Επειδή η σεληνάκατος είναι ιστορικά το δυσκολότερο μέρος οποιασδήποτε αποστολής στη Σελήνη. Εκεί συνέβη η έκρηξη του Apollo 13. Εκεί απέτυχε επανειλημμένα το σοβιετικό πρόγραμμα.

Η σεληνάκατος πρέπει να κατέβει μέσα από το κενό με απόλυτη ακρίβεια, να προσεδαφιστεί σε ανώμαλο έδαφος χωρίς να ανατραπεί, να παρέχει ενέργεια και υποστήριξη ζωής στην επιφάνεια και στη συνέχεια το στάδιο ανόδου πρέπει να λειτουργήσει τέλεια με την πρώτη προσπάθεια, επειδή δεν υπάρχουν δεύτερες ευκαιρίες. Αν ο κινητήρας ανόδου αποτύχει, το πλήρωμα μένει εγκλωβισμένο.
Δοκιμάζοντας τη σεληνάκατο νωρίς και δημόσια, η Κίνα δείχνει ότι κατανοεί πού βρίσκονται οι κίνδυνοι και ότι τους αντιμετωπίζει κατά μέτωπο.

Αυτή είναι σωστή μηχανική πρακτική. Είναι επίσης ένα μήνυμα αυτοπεποίθησης. Δεν θα παρουσίαζαν δημόσια αυτές τις δοκιμές αν δεν πίστευαν ότι λειτουργούν.

Η σεληνάκατος Lanyue θα εξυπηρετεί πολλαπλές λειτουργίες. Θα είναι το μέσο μεταφοράς του πληρώματος προς την επιφάνεια, ο χώρος διαβίωσής τους όσο παραμένουν εκεί και η πηγή ενέργειάς τους. Μεταφέρει επίσης εξοπλισμό επικοινωνίας, επιστημονικά όργανα και χώρο αποθήκευσης για δείγματα — όλα όσα χρειάζεται το πλήρωμα για τη σύντομη παραμονή του στη σεληνιακή επιφάνεια.
Τώρα, εδώ είναι που η στρατηγική της Κίνας γίνεται πραγματικά ενδιαφέρουσα. Ενώ κατασκευάζουν πυραύλους και διαστημόπλοια, ταυτόχρονα δημιουργούν και την αόρατη υποδομή που καθιστά δυνατές τις επιχειρήσεις στη Σελήνη. Και το κάνουν πριν ακόμη φτάσουν άνθρωποι εκεί.

Το 2024, η Κίνα εκτόξευσε τον Queqiao 2, έναν δορυφόρο αναμετάδοσης επικοινωνιών που βρίσκεται σε μια ειδική τροχιά γύρω από τη Σελήνη. Η αποστολή του είναι να παρέχει σύνδεση επικοινωνίας μεταξύ της Γης και της αθέατης πλευράς της Σελήνης, την οποία δεν μπορούμε ποτέ να δούμε απευθείας επειδή η Σελήνη είναι παλιρροιακά κλειδωμένη με τη Γη.

Γιατί έχει σημασία αυτό για μια επανδρωμένη αποστολή; Επειδή οι αξιόπιστες επικοινωνίες υψηλού εύρους ζώνης είναι απαραίτητες για την ασφάλεια. Αν κάτι πάει στραβά στη σεληνιακή επιφάνεια, το κέντρο ελέγχου της αποστολής πρέπει να το γνωρίζει αμέσως.

Το πλήρωμα πρέπει να μπορεί να μεταδίδει δεδομένα, να λαμβάνει οδηγίες και να παραμένει σε συνεχή επαφή με τη Γη.
Μαζί με τον Queqiao 2, η Κίνα εκτόξευσε επίσης δύο πειραματικούς δορυφόρους που ονομάζονται Tiandu-1 και Tiandu-2.

Αυτοί δοκιμάζουν τεχνολογίες για έναν μελλοντικό αστερισμό σεληνιακής πλοήγησης. Σκεφτείτε το σαν GPS για τη Σελήνη.

Αυτή τη στιγμή, αν βρίσκεσαι στη σεληνιακή επιφάνεια, πρέπει να πλοηγείσαι χρησιμοποιώντας αστρικούς αισθητήρες και αδρανειακή καθοδήγηση. Όμως, με έναν αστερισμό πλοήγησης, θα μπορούσες να έχεις ακριβή δεδομένα θέσης οπουδήποτε πάνω ή γύρω από τη Σελήνη.

Η Κινεζική Ακαδημία Επιστημών εργάζεται πάνω σε σχέδια για ένα πλήρες δίκτυο επικοινωνιών και πλοήγησης Γης–Σελήνης σε απομακρυσμένη ανάδρομη τροχιά.
Αυτό δεν είναι απλώς κάτι «καλό να υπάρχει». Είναι ένας πολλαπλασιαστής ισχύος. Σημαίνει ότι οι αποστολές μπορούν να λειτουργούν με μεγαλύτερη αυτοπεποίθηση, να αναλαμβάνουν περισσότερα ρίσκα και να επιτυγχάνουν περισσότερη επιστημονική έρευνα.

Επίσης, κάνει την Κίνα έναν ελκυστικό συνεργάτη για άλλες χώρες που θέλουν να στείλουν αποστολές στη Σελήνη, επειδή μπορούν και αυτές να χρησιμοποιήσουν αυτή την υποδομή.

Η NASA κατασκευάζει παρόμοιες δυνατότητες, αλλά το κάνει παράλληλα με τις επανδρωμένες αποστολές της.

Τον Σεπτέμβριο του 2024, η Κινεζική Υπηρεσία Επανδρωμένων Διαστημικών Πτήσεων παρουσίασε τη νέα σεληνιακή στολή EVA. Και δεν επρόκειτο απλώς για μια ιδέα ή μακέτα. Ήταν ένα λειτουργικό πρωτότυπο. Και το παρουσίασαν ζωντανά.
Ένας μηχανικός βγήκε στη σκηνή φορώντας τη στολή και πραγματοποίησε μια σειρά δοκιμών κινητικότητας, συμπεριλαμβανομένων καθισμάτων (squats), για να δείξει ότι οι αστροναύτες θα μπορούν πράγματι να κινούνται και να εργάζονται στη σεληνιακή επιφάνεια.

Η στολή έχει σχεδιαστεί ειδικά για το περιβάλλον της Σελήνης: σκληρό κενό, ακραίες μεταβολές θερμοκρασίας από -173°C στη σκιά έως +127°C στο ηλιακό φως, αιχμηρή σκόνη που εισχωρεί παντού και έκθεση σε ακτινοβολία.
Πρέπει να κρατά έναν αστροναύτη ζωντανό και λειτουργικό για ώρες, ενώ σκαρφαλώνει πάνω σε βράχους, συλλέγει δείγματα και εγκαθιστά εξοπλισμό.
Ας μιλήσουμε τώρα για το τι πραγματικά συμβαίνει με το πρόγραμμα Artemis της NASA, γιατί η πραγματικότητα είναι αρκετά ζοφερή.

Το Artemis 3, η αποστολή που υποτίθεται ότι θα προσγειώσει ανθρώπους στη Σελήνη, έχει καθυστερήσει ξανά.

Από τον Φεβρουάριο του 2026, η NASA δηλώνει ότι η αποστολή δεν θα πραγματοποιηθεί νωρίτερα από το 2028. Αλλά αν παρακολουθείτε τις εξελίξεις στο διάστημα, γνωρίζετε ότι αυτό το χρονοδιάγραμμα είναι μάλλον αισιόδοξο.
Το σεληνιακό σκάφος προσεδάφισης Starship δεν είναι έτοιμο. Οι νέες διαστημικές στολές βρίσκονται πίσω από το χρονοδιάγραμμα. Κάθε βασικό εξάρτημα αντιμετωπίζει τεχνικά εμπόδια και υπερβάσεις κόστους.

Το να παρακολουθείς το πρόγραμμα Artemis μοιάζει με το να βλέπεις ένα σιδηροδρομικό δυστύχημα σε αργή κίνηση. Είναι επώδυνο, πανάκριβο και κανείς δεν φαίνεται να γνωρίζει πότε πραγματικά θα λειτουργήσει.

Τώρα, συγκρίνετέ το αυτό με την Κίνα.
Η Κίνα λέει ότι θα προσεδαφίσει αστροναύτες στη Σελήνη πριν από το 2030. Και, σε αντίθεση με τα περισσότερα χρονοδιαγράμματα διαστημικών προγραμμάτων, αυτό μάλλον πρέπει να το πιστέψουμε.

Γιατί το 2029 σηματοδοτεί την 80ή επέτειο από την ίδρυση της Λαϊκής Δημοκρατίας της Κίνας.

Πρόκειται για μια ημερομηνία με τεράστιο πολιτικό βάρος. Είναι η δική τους εκδοχή της Ημέρας Ανεξαρτησίας, που τιμά τη νίκη του Mao Zedong και του Κομμουνιστικού Κόμματος μετά από δύο δεκαετίες εμφυλίου πολέμου.

Άρα, υπάρχει μηδενική πιθανότητα το Κινεζικό Κομμουνιστικό Κόμμα να επιτρέψει να χαθεί αυτή η προθεσμία.

Αυτό δεν είναι απλώς διαστημική εξερεύνηση· είναι πολιτικό θέατρο σε κοσμική κλίμακα.

Και όταν η πολιτική και η μηχανική συνδυάζονται με αυτόν τον τρόπο, τα πράγματα σοβαρεύουν πολύ γρήγορα.

Πολύ ενδιαφέρον άρθρο Γιώργο, το ανεβάζω και εγω. Δεν το είχα δει.

Καλημέρα Διονύση !

Η απουσία αντίστασης αρχικά ξενίζει …. το ρεύμα θέλει να μεγαλώσει και να γίνει “άπειρο ” ……επομένως θα έχουμε φαινόμενο αυτεπαγωγής και όλα όσα πολύ ωραία έχεις περιγράψει .

Αξίζει πιστευώ να δει κάποιος ότι : Ιολ = Ι + Ιπ = Ι + κ*υ*(t-t1) ==>

Iολ = (Ι – κ*υ*t1) + κ*υ*t ==> Iολ = (Ι – κ*x1) + κ*x , (κ=B*d/L) —->

Fεξ = FL = Β*d*Iολ = B*d*[ (Ι – κ*x1) + κ*x ]

μπορεί κάνεις να κάνει Fεξ – x και από εκεί να βρεί και το έργο της ….

Υπάρχουν και άλλες παραλαγές :

(χωρίς το αμπερόμετρο για μεγαλύτερη άνεση χειρισμών)

1.α=σταθ. => di/dt = κ*α*t θα προκύψει : i = 0.5*κ*α*t^2

ενδιαφέρον έχει και η περίπτωση για:

2. F=σταθ. ==> di/dt = κ*υ => di= κ*dx ==> i = κ*x εχουμε μια γραμμική ταλάντωση …

Καλό μεσημέρι Κώστα και σε ευχαριστώ για τον σχολιασμό, αλλά και τις προεκτάσεις…

Εξαιρετική ανάρτηση Διονύση και οι προεκτάσεις που έδωσε ο Κώστας (γεια σου Κώστα) πολύ όμορφες.

Σε ευχαριστώ και από εδώ Παύλο.

Γεια σας παιδιά. Ωραίο Διονύση! Για το τελευταίο ερώτημα μπορούμε να πούμε ότι F = Bid—>dF/dt = B d di/dt. Αλλά από το προηγούμενο ερώτημα di/dt σταθερό, άρα dF/dt σταθερό.

Καλό απόγευμα Αποστόλη.
Πολύ σωστός!

Καλησπέρα Διονύση
Πολύ καλή άσκηση. Τα βραχυκυκλώματα έχουν την ομορφιά τους και το παίδεμά τους.

Καλημέρα Χρήστο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ καλό και απαραίτητο για την τελευταία εβδομάδα θέμα. Θα χρησιμεύσει σε πολλούς συνάδελφους, που μετά βίας θα κάνουν αξιοπρεπώς το κεφάλαιο, αφού το Σχολείο έχει άλλο σκοπό…Και μάλιστα οι μαθητές της Α΄με τις ευλογίες της Σοφούλας, παίρνουν και την άδεια γρίπης. Τα τσάκισε τα καημένα…
😥
Και ένας προβληματισμός

• Μέση ισχύς

Pμ = ΔW/Δt

• Στιγμιαία ισχύς

P = dW/dt
ή
P = ΔW/Δt, όταν limΔt τείνει στο 0;

Καλημέρα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Όσον αφορά το μέσο και το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής, το πρόβλημα είναι διαχρονικό …
Θα πω κάτι, το οποίο δεν θα βρει σύμφωνους την πλειοψηφία των συναδέλφων και κυρίως τους διδάκτορες της διδακτικής!
Κατά τη γνώμη μου κακώς σταματήσαμε, εδώ και χρόνια, να διδάσκουμε σωστά τη στιγμιαία ταχύτητα (είναι η πρώτη φορά που διδάσκεται στο Λύκειο ρυθμός μεταβολής) και αποφεύγουμε να μιλήσουμε για όριο Δt να τείνει στο μηδέν. Το απλοποιήσαμε περιμένοντας να πάνε οι μαθητές στην Γ΄ Λυκείου και να διδαχτούν παραγώγους (Βέβαια ακόμη και όταν γίνει αυτό, εμείς στη φυσική κάνουμε ότι δεν το ξέρουμε…).
Αλλά αν δεν πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την γλωσσική έκφραση (αφού γλωσσικά το κάναμε και όχι μαθηματικά…) του ορίου Δt, ας μην το κάνουμε. Ας χρησιμοποιήσουμε όμως τουλάχιστον διαφορετικό συμβολισμό.
Ας κρατήσουμε το ΔΧ/Δt για το μέσο ρυθμό στο χρονικό διάστημα από τη στιγμή t1 μέχρι τη στιγμή t2 και ας εφαρμόσουμε το συμβολισμό dx/dt για το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής, τη χρονική στιγμή t3. Ας μην εμβαθύνουμε σε όρια και μαθηματικές περιγραφές.
Ας το κρατήσουμε σαν σύμβολο.
Ο μέσος μαθητής, κακά τα ψέματα, βλέπει α και καταλαβαίνει ότι είναι η επιτάχυνση και ας μην ξέρει πώς ορίζεται, βλέπει W και σκέφτεται έργο.
Ας του διδαχτεί λοιπόν και το σύμβολο dX/dt, ως πακέτο, με όνομα στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του Χ, σε αντιδιαστολή με το ΔX/Δt, το οποίο να αναφέρεται σε χρονικό διάστημα…
Αν το κάνουμε με συνέπεια, ελπίζω τουλάχιστον να μην συγχέονται οι δύο διαφορετικοί ρυθμοί… άσχετα με το πόσο περνάει η ουσία κάποιου ρυθμού στο μυαλό ενός μαθητή…

Καλημέρα παιδιά. Συμφωνώντας με την τοποθέτηση του Διονύση, ας προσθέσω ότι διδάσκοντας το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους x ως dx/dt (ως πακέτο όπως γράφει ο Διονύσης), ο μαθητής δεν θα μπει εύκολα στον πειρασμό να το δει ως πηλίκο και κάνει κάποια διαίρεση. Για το ερώτημά σου Ανδρέα ως προς το συμβολισμό της μέσης ισχύος, θα έλεγα Pμ = W/Δt, αφού το ΔW αναφέρεται σε μεταβολή μεγέθους, το οποίο δεν είναι καταστατικό.
Και μια απορία: γιατί η διδασκαλία της ισχύος απουσιάζει από τα νέα βιβλία της Α Λυκείου;

Καλημέρα στην παρέα.
Ωραίο το πρόβλημα Διονύση!
Αποστόλη υπάρχει η Ισχύς στα νέα βιβλία, με την ολίγο “μυστήρια” δομή, με διάφορους συμβολισμούς…
Συγκεκριμένα: στις εκδόσεις ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ στη σελίδα 140 και
στις εκδόσεις ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ στη σελίδα 141

Καλημέρα Παντελή και σε ευχαριστώ για την υπόδειξη. Έφταιξε το διαγώνιο διάβασμα…

Καλημέρα σε όλους. Διονύση συμφωνώ απόλυτα μαζί σου. Προσωπικά μέχρι το τέλος της ενεργού δράσης στο σχολείο, στην αρχη της Α’ Λυκειου, πάντα έδινα στον ορισμο και τον τύπο με lim για την στιγμιαια τιμη, αλλά και χωρίς το lim για την μέση τιμη , εξηγώντας την διαφορά τους. Το αντιλαμβάνονταν πολυ καλά κάνοντας χρήση κάποιων παραδειγματων.
(και τους ανέφερα το dx/dt λέγοντας ότι θα το χρησιμοποιήσουμε στη Γ’ Λυκειου-μαλιστα το δεχοντουσαν ομορφα επειδη χρησιμοποιουσαν την φραση “σε χρονο dt”, στην ομιλια τους ενιοτε).

Ο μόνος δρόμος κατά την άποψη μου για να καταλάβουν οι μαθητές Α λυκείου την παράγωγο γιατί γι αυτό πρ’οκειται είναι η γεωμετρία μέσω της εφαπτομένης σε καμπύλη στην μετατόπιση ή την ταχύτητα όπως πολύ ωραία είχε η mulimedia εκδοχή του βιβλίου των Halliday resnick εκδ 1992 σε applet. .Το lim θυμίζει παπαγαλία άγνωστου από τα μαθηματικά συμβολισμού. ¨Οσο για τον συμβολισμό της μέσης ισχύος δεν βλέπω κανένα λόγο να διαφέρει από αυτόν των μαθηματικών και των υπολογιστών τσέπης δηλαδή Ρ με μιά παύλα από πάνω

Καλό μεσημέρι σε όλους.
Αποστόλη, Παντελή, Γιώργο και Χαράλαμπε σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Χαράλαμπε δεν πρότεινα άλλο συμβολισμό για τη μέση ισχύ. Ο όποος συμβολισμός, είτε με παύλα είτε Ρμ δεν δημιουργεί πρόβλημα.
Πρόβλημα δημιουργείται όταν αναφερόμαστε σε μέσο ρυθμό μεταβολής όποιου μεγέθους; (από ταχύτητα, μέχρι ισχύ ή ρυθμούς μεταβολής έντασης ρεύματος, κινητικής, δυναμικής ενέργειας, μαγνητικής ροής, έντασης μαγνητικού πεδίου κ.ο.κ), σε αντιπαραβολή με τον αντίστοιχο στιγμιαίο ρυθμό.

Καλησπέρα. Πολύ όμορφη και χρήσιμη ανάρτηση Διονύση.

Καλησπέρα συνάδελφοι. Επειδή έθεσα τον προβληματισμό, που θα συναντήσουμε στα νέα βιβλία.
Ο ορισμός από τη σχέση p = ΔW/Δt με Δt→0 είναι μαθηματικά σωστός αλλά παιδαγωγικά ακατάλληλος.

Χρησιμοποιεί έννοια (όριο) που ο μαθητής δεν έχει διδαχθεί
Άρα δεν μπορεί να την ερμηνεύσει.

Μπερδεύει το Δ (που ο μαθητής ξέρει ως “μεταβολή”) με το d (που δεν ξέρει) Το Δt → 0 είναι υποκατάστατο του dt, αλλά ο μαθητής δεν το γνωρίζει.

Δημιουργεί λανθασμένη εικόνα ότι «το Δt μπορεί να γίνει μηδέν»
Ενώ στη φυσική το Δt είναι διάστημα τιμών, όχι στιγμιαία τιμή.

Στα περισσότερα βιβλία Φυσικής η πρακτική είναι να δίνεται

Λεκτικός ορισμός: “Στιγμιαία ισχύς είναι ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται έργο σε μια ορισμένη χρονική στιγμή.” ή

Ορισμός με παράγωγο p(t)=dW/dt, όπως το προτείνει ο Διονύσης ή

Πρακτικός ορισμός p = F . υ

Γεια σας παιδιά.
Για το θέμα αυτό:
Οι βλαβερές συνέπειες της κατάργησης του Ντε.

Ουδέποτε παράτησα το Ντε όποιο βιβλίο και να είχαμε.
Τα παιδιά καταλάβαιναν γιατί αρχικά συζητούσαμε, μετά έκαναν υπολογισμούς με προσομοίωση παίρνοντας ολοένα και μικρότερα διαστήματα.
Τέλος αυτό που είπε ο Μπάμπης, γεωμετρικά με ένα αρχείο Geogebra.

Έτσι είχαν και μια βοήθεια για το μέλλον όσοι θα συναντούσαν την έννοια της παραγώγου. Θα τους ήταν πιο εύκολο να την καταλάβουν όταν θα τους παρουσιαζόταν ως όριο πηλίκου.
Τα έκανα αυτά γιατί θυμόμουν ότι και εγώ και οι συμμαθητές μου στο Πρακτικό (Δ’ Γυμνασίου) καταλάβαμε τη διαφορά πολύ πριν μάθουμε παραγώγους και βοηθηθήκαμε όταν μάθαμε τις παραγώγους. Μας ήταν μια κάπως οικεία έννοια.

Έτσι αδιαφόρησα για τις μόδες που κάποιοι επέβαλαν αργότερα.
Δεν χαντακώνουμε τα παιδιά για να κάνουν κάποιοι εντύπωση. Κάποιοι που νομίζουν ότι αλλάζοντας κάτι πετυχημένο πρωτοτυπούν στη Διδακτική.

Η προσομοίωση:
Στιγμιαία ταχύτητα.
Πως δουλεύει;
Θέλεις να βρεις την στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή 2s.
Πας στη στιγμή αυτήν και διαβάζεις τη θέση. 4 m.
Κάνεις ένα κλικάκι με το “κασετόφωνο” και διαβάζεις ότι στα 2,001 s η θέση έγινε 4,004m.
Κάνεις διαίρεση και βγάζεις στιγμιαία ταχύτητα 4m/s.
Αν δεν κάνεις ένα κλικάκι αλλά αφήσεις να περάσει 1s βγάζεις τη μέση ταχύτητα από 2s ως 3s.

Διονύση το έκανες πιο ευανάγνωστο.

Παύλο, Ανδρέα και Γιάννη ευχαριστώ για το σχολιασμό και τη συμμετοχή στον προβληματισμό.
Γιάννη, “πείραξα” λίγο το αρχείο σου στιγμιαία ταχύτητα και το ανεβάζω ξανά ΕΔΩ.
Έβαλα να σταματά η κίνηση τη στιγμή 2s, βάζοντας και μετρητή της ταχύτητας.
Τη στιγμή που παύει η μεταβολή, έχουμε τις ενδείξεις t=2s, x=4m/s και v=4m/s (για να αρχίσουμε να προσαρμοζόμαστε και στο νέο σύμβολο της ταχύτητας, το οποίο παρεμπιπτόντως με βρίσκει σύμφωνο…). Αν ο μαθητής διαιρέσει το x/t βρίσκει τη μέση ταχύτητα από 0-2s, η οποία ισούται με 2m/s, ενώ η στιγμιαία είναι 4m/s.
Αν θέλει να βρει τη στιγμιαία ταχύτητα, μπορεί να κάνει ένα κλικ στο κασετόφωνο και να διαβάσει τη μετατόπιση και την αντίστοιχη μεταβολή του χρόνου και ας τα διαιρέσει…

Τα πράγματα στη στιγμιαία ισχύ είναι πιο πολύπλοκα. Αν ήταν απλώς η παράγωγος dW/dt θα έπρεπε να υπάρχει κάποιος όρος dF/dt x συνφ εκτός του Fυ. Το θέμα είχε αναλύσει παλιότερα, αν θυμάμαι καλά ο Κ. Μητροπουλος.

Καλησπέρα Χρήστο. Άριστη. Η ουσία της φθίνουσας ταλάντωσης, χωρίς χρόνους ημιζωής και τα σχετικά…
Στο γ είναι εύκολο να την πατήσει κανείς. Άλλο η δύναμη αντίστασης Fαντ και άλλο η αντίσταση R…

Καλά βρε Χρήστο, την ώρα που μας απασχολούν όλα αυτά τα θέματα των υπερευστών, της κβαντικής διεμπλοκής, της Σχετικότητας, των Μελανών Οπών κ.ά…εσύ κάνεις ανάρτηση για Φθίνουσα Ταλάντωση;;;!!!

Πέρα από την πλάκα, εξαιρετικό θέμα! Να αναφέρω και μία παλαιότερη εδώ
Η ταλάντωση του ραβδόμορφου μαγνήτη
Να είσαι καλά!

Καλησπέρα Ανδρέα και Μίλτο
Ευχαριστώ για το σχόλιο. Ανδρέα με αφορμή την παρατηρησή σου στήθηκε το θέμα.
Μίλτο είπα να μην σχολιάσω γιατί με αυτά που διάβασα δεν έπαθα κβαντική διεμπλοκή αλλά εμπλοκή error 404.
Στον σύνδεσμο που έδωσες δεν μου ανοίγει το αρχείο.

Πρόσθεσα και δεύτερο σύνδεσμο Χρήστο. Νομίζω ότι τώρα είναι εντάξει.
Εάν οι διαχειριστές το κρίνουν, ας αφαιρεθεί ο αρχικός.

Καλημέρα και καλή εβδομάδα. Πολύ όμορφη Χρήστο.

Καλημέρα Χρήστο και καλή βδομάδα.
Ωραίο θέμα !
Σκέφτομαι αυτή τη Laplace στο μαγνήτη,επειδή
την ξέρουμε σαν δύναμη από ΜΠ σε ρευματοφόρο αγωγό, μήπως της πρέπει
δύναμη αλληλεπίδρασης του μπ του επαγωγικού ρεύματος με το ΜΠ του μαγνήτη;
Να είσαι καλά

Καλημέρα Χρήστο.
Ωραία η φθίνουσα με ωραία φυσική, χωρίς εξισώσεις…

Καλημέρα Χρήστο. Πολύ καλή!

Καλησπέρα Χρήστο.Ομορφη. Επειδή η δύναμη αντίστασης από το μαγνητικό πεδίο, που δημιουργείται από τον δακτύλιο,δεν πρέπει να είναι της μορφής F=-bυ ( το πεδίο είναι μη ομογενές) ,καλό είναι να προσθέσεις στην εκφώνηση το εξής” θεωρώντας προσεγγιστικά ότι ισχύει Fμαγν =-bυ”.

Παύλο, Παντελή, Διονύση, Αποστόλη και Γιώργο καλησπέρα.
Ευχαριστώ για το σχόλιο.

Παντελή όντως καλύτερα θα ήταν να πούμε την αλληλεπίδραση πεδίων αλλά θέλησα επειδή αλλάζει φορά το επαγωγικό ρεύμα και το μ.π. να πω για συντομία ότι κάθε φορά ο μαγνήτης θα δέχεται δύναμη αντίθετης κατεύθυνσης με αυτή της κίνησης του.

Γιώργο δεν χρειάζεται πουθενά η μορφή της δύναμης Laplace για να απαντηθεί καθώς υπάρχει ένα δεδομένο διάγραμμα εξέλιξης και ζητείται να προβλεφθεί ένα άλλο. Για να στηρίζω την μορφή του διαγράμματος θεωρώ αρχικά μικρή απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Υποθέτω διαισθητικά πως η εξέλιξη του φαινομένου θα είναι έτσι παρόλο που αλλάζει συνεχώς το μ.π. και η δύναμη αντίστασης να μην ακολουθεί την σχέση -b·υ.

Χρήστο πιστεύω ότι πρέπει να το πεις για να μην είναι αυθαίρετο το διάγραμμα και κάποιος μπορει να το θεωρήσει λάθος.

Γιώργο καλησπέρα και πάλι.
Πρόσθεσα για λόγους πληρότητας αλλά και να μην αφήνει ερωτηματικά στο γ ερωτημα :
” Στο σχήμα 2 φαίνεται η απομάκρυνση της κίνησης του μαγνήτη από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρούμε ότι η δύναμη που δέχεται ο μαγνήτης από το μαγνητικό πεδίο του δακτυλίου είναι της μορφής -b·υ.”

Ναι έτσι διασφαλίζεται από οποιαδήποτε αρνητική τοποθέτηση στο πρόβλημα.

Για τυχόν αμφιβολία, μπορείτε να δείτε σε δύο αρχεία i.p. να εκτυλίσσονται οι παραπάνω κινήσεις της ράβδου.
Η κρούση στο cm.
Η κρούση σε άλλο σημείο.

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ καλό θέμα που στηρίζεται ακριβώς στην πρόταση του σχολικού και είναι κανονικότατα εντός ύλης. Πολύ καλό το ip που δεν αφήνει αμφιβολίες.

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ ωραίο θέμα. 

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ ωραίο!

Καλημέρα σε όλους. Διονύση κάθε χρόνο δίνεις ραντεβού με εύστοχα επαναληπτικά θέματα. Κι εμείς τέτοια ραντεβού δεν τα χάνουμε!

Καλησπέρα Διονύση,
ωραία άσκηση και κατατοπιστική για θέματα που στο μυαλό τους οι μαθητές έχουν μπερδεμένα.

Είχα βέβαια την εντύπωση ότι οι οδηγίες ανέφεραν να μην εξετάζεται η περίπτωση μετά από κρούση να εκτελείται άλλη κίνηση πέρα της μεταφορικής. Αλλά δεν είμαι και απολύτως σίγουρος.

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Χρήστο, Κωνσταντίνε, Γιάννη, Αποστόλη και Χρήστο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και την ευμενή υποδοχή.

Καλησπέρα σε όλους,
κι εγώ την ίδια αίσθηση έχω κ. Χρήστο.
Ας το ξεκαθαρίσει κάποιος, αν γνωρίζει.

Καλησπέρα.
Και βέβαια Διονύση είναι αποφασιστικής σημασίας το δεδομένο της ανάρτησης του νήματος από το μέσον της πλάκας .
Διότι μόνο έτσι θα μπορούσαμε να σώσουμε την ιδέα της άσκησης 5.30 στην οποία το λυσάρι δίνει μια εντελώς λάθος λύση όπως έχουμε ξανασυζητήσει …

Καλημέρα και καλή Κυριακή. Εξαιρετική άσκηση Διονύση.

Καλημέρα παιδιά.
Οι εξαιρέσεις θεμάτων από την ύλη βάζουν κάθε συνάδελφο να ψάχνει κιτάπια και οδηγίες αντί να κάνει μάθημα.

Καλημέρα και καλή Κυριακή.
Άγγελε και Δημήτρη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Θα μου επιτρέψετε να «παρουσιάσω» το θέμα, το οποίο βλέπω να μπαίνει στο κρεβάτι του Προκρούστη, αφού διατυπώνονται ενστάσεις αν είναι εντός ή εκτός.
Πέρα από το ότι μιλάμε για ένα ερώτημα φυσικής που κάτι ζητάει από ένα μαθητή και αν μπορούν να μπαίνουν τέτοιοι περιορισμοί σε ασκήσεις, με το κόφτη εντός ή εκτός, χωρίς να εξετάζεται αν μπορεί να απαντηθεί με βάση τη θεωρία του βιβλίου, ας δούμε τι πρέπει να ξέρει ένας υποψήφιος.
Το παρακάτω απόσπασμα του βιβλίου, είναι εντός ή εκτός ύλης;

https://i.ibb.co/jkbspHC4/2026-05-10-063549.png

Μιλάει για δύναμη που ασκούμε σε ένα σώμα. Και πώς μπορεί να ασκηθεί μια δύναμη; Αν βάλω το δάκτυλό μου στο σημείο Μ της ράβδου και σπρώξω ασκώ δύναμη; Και αν σπρώξω με δύναμη 2Ν ή 1000Ν, διαφέρει ώστε στην πρώτη περίπτωση να επιτρέπεται, να είναι εντός ύλης και στην δεύτερη περίπτωση να είναι εκτός; Ή αν στην πρώτη περίπτωση την δύναμη την ασκήσω για χρονικό διάστημα 2s και την 2η για 0,01s, υπάρχει πρόβλημα;
Και αν την θέση του χεριού μου βάλω μια σφαίρα να κτυπήσει, αυτό απαγορεύεται;
Παιδιά ψυχραιμία!!!
Δεν μελέτησα καμιά κρούση παραπάνω! Δεν ζήτησα καμιά θεωρία κρούσης που να επιβάλλει διατήρηση στροφορμής ή θεωρία που έχει αφαιρεθεί. Το πρώτο ερώτημα με την ΑΔΟ, μπήκε για να υποχρεωθεί ο μαθητής να κάνει σχήμα και να σχεδιάσει δυνάμεις, ώστε να πάρει το σχήμα και να φανεί ότι «κρούση» σημαίνει άσκηση της δύναμης F στη ράβδο:

https://i.ibb.co/271gD1RB/2026-05-10-064922.png

Γιατί αυτό που στοχεύει η ανάρτηση είναι το αν η κίνηση, μετά την άσκηση της δύναμης F, είναι μεταφορική ή σύνθετη. Και τι σημαίνει μεταφορική κίνηση και πότε η κίνηση είναι σύνθετη.
Καμιά κρούση δεν μελέτησα, καμιά σύνθετη κίνηση δεν εξέτασα πώς εξελίσσεται…
Μήτσο, βάζω στοίχημα ότι το 95% των μαθητών (αν όχι το 100%…) θα σχεδιάσουν το σχήμα, όπως αυτό που έδωσες της άσκησης 5.30.

Καλό μεσημέρι στην παρέα.
Ωραιότατο το θέμα Διονύση, αλλά και πόσο δίκιο έχουμε όσοι συμφωνούμε με του ΚΥΡ τη ρήση …”Οι εξαιρέσεις θεμάτων από την ύλη βάζουν κάθε συνάδελφο να ψάχνει κιτάπια και οδηγίες αντί να κάνει μάθημα.”

Γεια σου Διονύση. Πολύ διδακτική παρουσίαση!

Καλημέρα Παντελή, καλημέρα Μίλτο.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Γεια σου Γιάννη. Πήρες πάσα από τον εαυτό σου. Να δεχτούμε τον δεύτερο.

Γεια σου Αποστόλη. Σωστά. Τότε το σκέφτηκα.

Καλησπέρα Γιάννη. Στην πρωτη περίπτωση εχουμε και την κινητική ενεργεγεια λογω περιστροφης μαζι με την ενέργεια της ταλάντωσης, Αρα το δευτερο σωστο.

Σωστά Γιώργο.

Καλημέρα Γιάννη. Η πρωτη κλασική. Οι αλλες δυο πολύ όμορφες!
Παρατήρησα ότι και οι δυο στηρίζονται στο γνωστό πόρισμα για την μεγιστη τιμή του γινομενου δυο αριθμων όταν το αθροισμά τους είναι σταθερό.

Καλημέρα Γιώργο.
Η τρίτη στηρίζεται στο γνωστό από τη Γεωμετρία γεγονός ότι απ’ όλα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ με υποτείνουσα ΑΒ δεδομένη:
https://i.ibb.co/chy3987s/Screenshot-1.png
μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το ισοσκελές.

Και στο ότι αφού α^2+β^2=γ^2 = σταθερό,
τότε α^2 * β^2 = max , όταν α^2=β^2,άρα α=β, άρα και το εμβαδόν Ε=( 1/2) α*β = max.

Ναι μπορείς να το βγάλεις και αλγεβρικά από Πυθαγόρειο και την ταυτότητα.
Απλά η Άλγεβρα είναι το δεύτερο που κοιτάζω συνήθως.

Απλώς παρατήρησα ότι και τα δύο ερμηνεύονται με το ίδιο πόρισμα.

Γεια σας παιδιά. Ωραίες λύσεις Γιάννη. Στην πρώτη σου σχέση φάε το ω.
Μια πιο βάρβαρη λύση

https://i.ibb.co/sdrTGFZ3/Screenshot-2026-05-07-114635.png

Γεια σου Γιάννη. Πολύ ωραίες λύσεις με την τρίτη λύση να ξεχωρίζει για μένα.

Καλημέρα Γιάννη.
Βοήθα.
Η σκέψη μου:η U του ελατηρίου σε σχέση με την παραμόρφωση του που στη περίπτωση του οριζόντιου ελατηρίου ταυτίζεται με την χ αποδίδεται γραφικά όπως παρακάτω .Βλέπω λοιπόν τον dU/dx να είναι max απολύτως στις ακραίες θέσεις
https://i.ibb.co/pvKgMWww/U-f-Dl.png
Μήπως κάτι δεν σκέφτομαι σόι;

Καλημέρα Αποστόλη, Παύλο, Παντελή.
Αποστόλη ευχαριστώ, διόρθωσα.
Μια χαρά είναι η λύση σου.
Παντελή είναι άλλη παράγωγος. Είναι η παράγωγος της δυναμικής ενέργειας ως προς το x.
Ζητάμε την παράγωγο ως προς το t. Αυτή είναι (dU/dx)*(dx/dt).
Δηλαδή είναι γινόμενο αυτής που εννοείς:
https://i.ibb.co/VYPzgVdh/Screenshot-1.png
(Η παράγωγος είναι η κόκκινη)
επί την παράγωγο του x ως προς τον χρόνο, ήτοι την ταχύτητα.
Η ταχύτητα είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις.

Ναι Γιάννη, ήμουν έτοιμος να το πώ ,
πως ζητάς το dU/dt. Μπερδεύτηκα με τη θέση
Ωραίο θέμα, σ’ευχαριστώ

Συγκεκριμένα:
https://i.ibb.co/DHJv1L4y/55.png

Πολυ καλη Γιαννη καθως και οι λύσεις σου.Βεβαιως μαλλον δυσκολο να μην καταλαβει καποιος τι εννοεις αλλα αυτο που ζητας ειναι ο μεγιστος ρυθμός αύξησης και οχι η αυξηση σκέτο,η οποια ειναι μεγιστη στις θεσεις πλατους.

Καλησπέρα παιδιά. Μιά λύση.

Η λύση.

https://i.ibb.co/r2QY2TYn/3-copy-1778162588-4921.jpg

Καλησπέρα Κωνσταντίνε και Χριστόφορε.
Κωνσταντίνε τον ρυθμό εννοούσα.
Χριστόφορε πολύ μου άρεσε η λύση.

Πολύ σωστά Χριστόφορε.

Κι άλλη μια Γιάννη. Από τη γραφική παράσταση.
https://i.ibb.co/FL3rMfsX/fgy.jpg

Η γραφική παράσταση.

https://i.ibb.co/fGNvCNXp/er.png

Καλημέρα Διονύση.
Ωραία ερωτήματα …ασυνήθιστα!
Να είσαι καλά

Όμορφη άσκηση Διονύση.

Ωραίο Διονύση!
Μου έρχεται και σαν μια σύνδεση – εισαγωγή στις ταλαντώσεις.

Καλημέρα συν’αδελφοι.
Παντελή, Παύλο και Γιάννη σας ευαριστώ για το σχολιασμό.

Μια τρύπα στο νερό;
Και οδηγούμαστε σε οριακή ταχύτητα του μπαλονιού;
Γιάννη, ερωτήματα…

Φαντάζομαι ότι πολύ γρήγορα θα βγει το μπαλόνι και δεν πρέπει να ασχοληθούμε με δυνάμεις απόσβεσης, οπότε δεν μένει παρά μόνο η… τρύπα στο νερό 🙂

Διονύση και εγώ βλέπω οριακή ταχύτητα.
Ας υποθέσουμε ότι το βάθος του δοχείου το επιτρέπει.
Αν δεν προλάβει να την αποκτήσει ας κόψουμε τις καμπύλες.
Φυσικά δεν θα ασχοληθούμε με χρονικές στιγμές μετά από αυτήν που θα ξεμυτίσει το μπαλάκι μια και “όσο το μπαλάκι είναι πλήρως βυθισμένο στο νερό”.

Καλησπέρα παιδιά.
Δεν βλέπω αθρόα προσελευση οπότε μια προσπάθεια χωρίς ιδιαίτερη σκέψη. Θα σκεφτώ μετά την απάντηση.
Το cm του νερου με το κοψιμο του σχοινιου αρχιζει να κατέρχεται επιταχυνόμενο με ελαττούμενη επιταχυνση. Μπαλόνι αμελητέας μάζας.
Θεωρώ το προβλημα ισοδύναμο με
1) ανεβαίνω σε ζυγαριά να ζυγιστω. Είμαι ορθιος και ακίνητος. Μου φαίνονται πολλά τα κιλά σκύβω να δω δηλ επιταχυνομαι προς τα κάτω και η ζυγαρια ελατήριο δείχνει μικροτερη ενδειξη.
2)Είμαι στον ανελκυστήρα ελλινιστι ανσασερ πάνω σε ζυγαριά αρχίζει το ανσασερ να επιταχυνεται προς τα κάτω πάλι μικρότερη ενδειξη. Επειδή η φύση απεχθάνεται τα απότομα ψηφίζω δ.

Καλησπέρα Γιώργο.
Συμφωνώ.
Όταν το μπαλάκι αποκτά οριακή ταχύτητα σταθεροποιείται η ταχύτητα καθόδου του κέντρου μάζας του συστήματος και η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.
Έτσι η ζυγαριά δείχνει το ολικό βάρος.

Την ίδια απάντηση μου έστειλε σε μήνυμα και ο Κωνσταντίνος.

Πολύ όμορφη Διονύση, που λόγω κεκλιμένου επιπέδου ανεβαίνει το επίπεδο δυσκολίας.

Καλημέρα Διονύση.
Αυτής της “φόρμας” θέματα (ερωτήσεις), που αρκετά σχετικά έχεις δώσει,
χρειάζονται ειδική προπόνηση και αρκετά “εργαλεία” που τα βρίσκεις στη “νησίδα”.
Να είσαι καλά

Καλημέρα Παύλο, καλημέρα Παντελή.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Να είσαστε καλά.

Καλημέρα Διονύση. Ένα θέμα που αν δεν κατανοείς τη θεωρία, δύσκολα το ακουμπάς. Ένα πραγματικό Β θέμα δηλαδή!

Καλό μεσημέρι Αποστόλη.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Κάπως έτσι είναι…

Πολύ καλή!
Το περίεργο είναι ότι η λύση που παρουσιάζεις είναι ευκολότερη και συντομότερη από αυτήν που ανάγεται στο σημείο επαφής!!

Καλό απόγευμα Γιάννη.
Η απόδειξη είναι μονόδρομος για τους μαθητές. Δεν διδάσκονται στιγμιαίο άξονα…

Καλησπέρα Διονύση.
Και εμάς που δεν έχουμε τους περιορισμούς των μαθητών μας βολεύει να μην επιλέξουμε στιγμιαίο άξονα.

Καλησπέρα Διονύση. Όμορφη.
Ενα σχημα που συνεπικουρεί στην λύση του τελευταίου ερωτηματος. https://i.ibb.co/351pqfgB/mai-1.png

Η συνισταμένη των ακ και αcm πρεπει να ειναι στην διευθυνση της αε αφου η α καθετη στην ακ