Γιώργος Σφυρής

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ όμορφη ανάρτηση, με εύστοχα ερωτήματα που βοηθούν τον μαθητή να σκεφτεί τις κατευθύνσεις των δυνάμεων πριν προχωρήσει στους υπολογισμούς.
Με αφορμή την άσκησή σου, παραθέτω μια γενίκευση για ομόσημα και ετερόσημα φορτία, με δύο τρόπους επίλυσης και έμφαση στην ερμηνεία των ριζών. Τονίζεται επίσης ότι η θέση ισορροπίας δεν εξαρτάται από το φορτίο που τοποθετούμε εκεί, ως προετοιμασία για την έννοια του ηλεκτρικού πεδίου.
Ισορροπία φορτίου: δύο μέθοδοι και η σημασία των ριζών

Καλο απογευμα Διονυση. Εξυπνα ερωτηματα.Και ενα δικο μου ερωτημα. Αφου η απαντηση στο i) ειναι η γ) αυτο σημαινει οτι δεν υπαρχει καμια διαφορά αναμεσα στις καταστασεις που δειχνουν τα δυο σχηματακια της απαντησης; H διαφορά που υπαρχει,ειναι οτι η μια ειναι κατασταση ευσταθους ισορροπιας κατα μηκος του ΑΒ,ενω η αλλη ειναι κατασταση ασταθους ισορροπιας. Ποιά ειναι ποιά;

Καλό απόγευμα Παύλο και Κωνσταντίνε και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Αν εκτρέψουμε τη σφαίρα από την θέση ισορροπίας της και αυτή τείνει να επιστρέψει σε αυτήν, τότε έχουμε ευσταθή ισορροπία.
Αυτό συμβαίνει αν οι δυνάμεις είναι απωστικές, όπως στο 2ο σχήμα.

Καλησπέρα Διονύση. Ωραίες ερωτήσεις. Ξεκινάς και φέτος να δίνεις βοήθεια στην “ανεξεταστέα” Φυσική Γενικής. Μακάρι να την δεχτούν οι μαθητές.
Φοβάμαι ότι σε κάποιους από αυτούς, μετά από λίγα χρόνια, θα πλασάρουν ένα απλό όργανο με δείχτη που μετράει ρεύμα, ως “βιοσυντονιστικό”.

Καλησπέρα. Ίσως πρέπει να επισημανθεί (κάτι άσχετο βέβαια με την στόχευση της άσκησης) ότι μόνο αν η σφαίρα είναι υποχρεωμένη να κινείται στην ευθεία των άλλων φορτίων είναι δυνατόν να υπάρξει θέση ευσταθούς ισορροπίας. Γενικά σε ηλεκτροστατικό πεδίο δεν υπάρχει θέση ευσταθούς ισορροπίας για φορτισμένο σωματίδιο που δεν υπόκειται σε συνδέσμους.

Καλημέρα Ανδρέα, καλημέρα Δημήτρη. Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα, τα τελευταία χρόνια είχα σταματήσει, ουσιαστικά, να ασχολούμαι με ύλη Β΄γενικής, αφού ήταν φανερό ότι δεν ενδιέφερε κανέναν…
Η παρούσα ανάρτηση, λες να με κάνει να το επαναλάβω το εγχείρημα;
Δημήτρη έχεις δίκιο για την ισορροπία. Αυτό που έγραψα παραπάνω ήταν για την ισορροπία όταν και τα τρία φορτία είναι συνευθειακά. Αν το φορτίο q μετακινηθεί σε άλλη διεύθυνση δεν πρόκειται να επιστρέψει στην θέση ισορροπίας. Το σημείο Μ, είναι ένα σημείο σαγμάτωσης!
(Τώρα αλήθεια τι καταλαβαίνουν οι νέοι φοιτητές όταν ακούνε για το σαμάρι, το οποίο δεν έχουν δει ποτέ τους, είναι άλλη ιστορία…)

Kαλημερα. Σωστη η παρατηρηση του κυριου Βλάχου. Για να επεκτεινω λιγο το σχόλιο,μονο για καθηγητες,οι συναρτησεις που ειναι λυσεις της εξισωσεως Laplace,εχουν την ιδιοτητα η τιμη τους σε καπoιο σημειο,να ισουται με την μεση τιμη τους,πανω σε μια σφαιρα με κεντρο το σημειο. Αμεσο συμπερασμα ειναι οτι δεν μπορει οι συναρτησεις αυτες να εχουν τοπικα ακροτατα.(γιατι;) Eπομενως το ηλεκτρικο δυναμικο,σε χωρο οπου δεν υπαρχουν άλλα φορτια δεν μπορει να εχει μεγιστο ή ελαχιστο και άρα δεν μπορει να υπαρχει θεση ισορροπιας για καποιο φορτιο που θα τοποθετησουμε στον χώρο.
Ομως αν για μετακινησεις φορτιου κατα μια συγκεκριμενη διευθυνση,ολες οι δυναμεις τεινουν να επαναφερουν το φορτιο στην αρχικη του θεση,τοτε θα μπορουσαμε να πουμε οτι για την συγκεκριμενη διευθυνση η θεση ειναι θεση ισορροπιας. Κατι τετοιο συμβαινει στο σχημα απο κατω. Για αυτον τον λογο στο αρχικο μου σχολιο εγραψα για κατασταση ισορροπιας μόνο κατα μηκος του ΑΒ και οχι για κατασταση ισορροπιας σκέτο.
Διονυση ειδες πως εξελισονται οι συζητησεις και απο την ασκησουλα φτασαμε στο βιβλιο του Jackson 🙂
https://i.ibb.co/F4jnPtxQ/3410.jpg

Διονυση καλημερα και παλι. Γραφαμε μαζι. Την λεξη “σαγματωσης” πρωτη φορα την ακουω. Saddle point το λενε στην Ζακυνθο. 🙂

Το σαμάρι το έχεις ακούσει Κωνσταντίνε;
https://i.ibb.co/sp41ZPYK/2026-09-23-091533.png

Σαμαρι εχω ακουσει,σαμαροειδες σημειο εχω ακουσει,σάγμα όχι.

Από το βικιλεξικό, με αναφορά στο Παπαδιαμάντη:
Ἐκεῖ, μὲ τὸ λεπτὸν ραβδίον του, ρεμβός, χωρὶς νὰ τὸ σκεφθῇ, ἐκέντησε τὸ ζῷον ὑπὸ τὸ σάγμα ὄπισθεν, εἰς τὰ νεφρά.

Διονύση δεν διαβαζω Παπαδιαμαντη,δεν τον καταλαβαινω αφου στην ωρα των αρχαιων παντα διαβαζα Μαθηματικα (ειμαι πολυ μονοπλευρος) και οταν με ρωταγε κατι ο καθηγητης ειχα τον Πατάκη απο κατω. Εχω διαβασει ομως Σκαρίμπα:
Kι όλο να λες, να λες, στα θάμβη της νυκτός
για ένα —με γυάλινα πανιά— πλοίο που πάει
όλο βαθιά, όλο βαθιά, όσο που πέφτει εκτός:
όξ’ απ’ τον κύκλο των νερών — στα χάη. (Ασχετο) 🙂

Καλό μεσημέρι Διονύση .
Με σύνδεσες με το “σάγμα” και θυμήθηκα του φίλου μου
του Γιάννη τον πατέρα τον κ.Στέλιο, ο οποίος στα “πεταλάδικα” στο Ρέθεμνος είχε ΣΑΓΜΑΤΟΠΟΙΕΙΟ.
Ο Λαϊκός ζωγράφος Δημήτρης Τεργιακής ή Μούρμουρας
ζωγράφιζε με πενιχρό αντίτιμο ή χάριζε έργα του ,όπως
η ανυπόγραφη επιγραφή
https://i.ibb.co/DDf7w1hW/image.png

Καλό απόγευμα Παντελή με την ..αποδεικτική επιγραφή, με το τέλειο αλογάκι!
Δεν είχα ξαναδεί το “σαγματοποιείον”!
Πολύ καλός ο Σκαρίμπας Κωνσταντίνε, τον διάβαζα κάποτε και γω, αλλά ο Παπαδιαμάντης, πρώτον δεν είναι Αρχαίος και δεύτερον είναι μια κατηγορία μόνος του και μάλιστα “κορυφαία κατηγορία”!

Καλησπέρα Παύλο. Μαγικά “εξαφάνισες” τη στατική τριβή και από την παραπάνω εβδομάδα, που θα μπω στο στερεό, θα βάλω τους μαθητές μου να το εξηγήσουν.

Ευχαριστώ για το σχόλιο Ανδρέα, χαίρομαι να φανεί χρήσιμη η άσκηση.

Καλημέρα Διονύση. Ωραίο το παιχνίδι με τα ποσοστά. Για το 2ο ερώτημα μπορούμε να γράψουμε και Κα = p^2 /2m, Κτ = p^2 /2(M+m) και αφού η ορμή του συστήματος διατηρείται, Κα / Κτ = (Μ+m) / m.

Καλημέρα Διονύση.
Συνειδητά να χρησιμοποιούν τις εκφράσεις,
“σχεδόν”, περίπου, “τείνει” ώστε να αποφεύγονται τα άτοπα.
Ωραία η τριλογία!
Καλή Κυριακή

Καλημέρα Διονύση.
Πολύ χρήσιμη και ουσιαστική ανάλυση των κεντρικών κρούσεων όσον αφορά την ενέργεια. Δυστυχώς οι διερευνήσεις τείνουν σε αποκλεισμό στο υπάρχον σύστημα. Ακόμα θυμάμαι το πολύ ωραίο θέμα του 2005 με την σφήνα που πολύ εμίσησαν…

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ καλή εργασία και πολύ χρήσιμη για τη μελέτη κρούσεων και ενεργειών.
Με την ευκαιρία ένα ζήτημα που ακόμα δεν είμαι σίγουρος πως αντιμετωπίζετε από όλους τους συναδέλφους, αντικαθιστάς ΔΚ με Κα-Κτ , ενώ μεταβολή ορίζουμε τελική μείον αρχική τιμή , είναι τελικά πρόβλημα ή όχι , γενικά μιλάω.

Kαλησπερα Διονυση. Χρησιμη αναρτηση. Μια παρατηρηση που μαλλον αξιζει τον κοπο να λεγεται στους μαθητες, ειναι οτι στην πλαστικη κρουση οπου το ενα εκ των Μ,m ειναι αρχικα ακινητο,το κλασμα
Μ/Μ+m που δειχνει το ποσοστο απωλειας, γινεται m/M+m οταν ο ρολος των δυο σωματων αντιστραφει,(δηλαδη ακινητο και κινουμενο) και επισης το αθροισμα αυτων των δυο κλασματων ισουται με την μοναδα,οποτε για παραδειγμα αν στην μια κρουση το ποσοστο απωλειας ειναι 40%,τοτε στην αλλη κρουση θα ειναι 60% και αν στην μια κρουση το ποσοστο ειναι οριακα μηδεν,τοτε στην αλλη κρουση θα χαθει ολη η ενεργεια.

Καλησπέρα Διονύση. Ευχαριστούμε που ένωσες συμπεράσματα, που βρίσκονται σε διάφορες αναρτήσεις σου, σε ένα συμπαγές πακέτο, έτοιμο για την τάξη. Θα τη δώσω αύριο, να δω αντιδράσεις στο μέγιστο-ελάχιστο.
Κάπου έγραψες m >>> M. Στο στρατό ήσουν επιλοχίας σωστά; Έγώ μέχρι > έφτασα και το μετάνιωσα, όταν έγινα αρχιφύλακας σε φυλάκιο στην Κω…

Καλημέρα συνάδελφοι.
Αποστόλη, Παντελή, Στάθη, Γρηγόρη, Κωνσταντίνε και Ανδρέα σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ανδρέα, ούτε υποδεκανέας δεν έγινα…

Καλησπέρα Διονύση. Πολύ όμορφη και κυρίως διδακτική.
Για τα ερωτηματα 1iiκαι 2iii μια αμιγως μαθηματική προσεγγιση:https://i.ibb.co/cS58kMgc/SEP-47.png

Καλημέρα Γιώργο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την γενική μαθηματική απόδειξη.

Καλημέρα.
Όμορφα μέγιστα και ελάχιστα στις κρούσεις , Διονύση.
Στην ερώτηση 3 όμως ένα μέγιστο δεν θέλησες να το αναφέρεις…..

Καλημέρα Γιώργο και σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Στο 3ο ερώτημα, έχω δώσει τιμές σε μάζες και ταχύτητες, άρα “δεν παίζει” κάποιο μέγιστο!
Φαντάζομαι αναφέρεσαι στην περίπτωση αντίθετων ορμών, όπου κάποια στιγμή θα μηδενιστούν ταυτόχρονα και οι ταχύτητες των δύο σωμάτων και όπου το 100% της μηχανικής ενέργειας, θα εμφανίζεται με τη μορφή της δυναμικής ενέργειας…

Διονύση αυτό εννοώ
https://i.ibb.co/KYXQQWH/max-4.jpg

Καλημέρα και πάλι Γιώργο.
Ναι, υπάρχει και αυτό το μέγιστο με το 96%, υπάρχει όμως και το … άλλο που ανέφερα πριν, με 100%!

Γεια σου Γιώργο χαίρομαι που σου αρέσει και ευχαριστώ για την όμορφη λύση που μας δίνεις.

Καλημέρα Παύλο. Πολύ όμορφη. Μια άλλη , αρκετα πιο δυσκολη λυση που απαντά ομως και στα τρια πρωτα ερωτηματα:
https://i.ibb.co/JwpcDsXT/SEP-30-1.png

και..
https://i.ibb.co/F4v5jsf1/SEP-31-1.png

Καλησπέρα Παύλο. Πολύ καλή. Όμως υπάρχει ένα σημείο, που οι μαθητές δεν γνωρίζουν, όπως διαπίστωσα κάνοντας τις βολές στην τάξη. Εφαπτόμενη σε παραβολή. Πως την κατασκευάζουμε;
Αναγκαστικά πρέπει να πούμε για στιγμιαίο εφαπτόμενο κύκλο – και προαιρετικά για ακτίνα καμπυλότητας, αφού η κεντρομόλος επιταχυνση θα διδαχτεί αργότερα.

Καλησπέρα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Σωστή η παρατήρηση. Πράγματι, το πρόβλημα είναι ότι οι μαθητές δεν έχουν διδαχθεί μαθηματικά πώς κατασκευάζεται η εφαπτόμενη σε μια παραβολή.
Νομίζω όμως ότι από πλευράς Φυσικής μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε χωρίς να εισαγάγουμε στιγμιαίο εφαπτόμενο κύκλο και ακτίνα καμπυλότητας. Στο σημείο Μ της τροχιάς η εφαπτομένη έχει τη διεύθυνση της στιγμιαίας ταχύτητας υ. Επομένως, από τις συνιστώσες υx και υy μπορούμε να προσδιορίσουμε τη διεύθυνση της:
εφθ = υy/υx
Το ζήτημα είναι ότι, ψάχνοντας το σχολικό βιβλίο, διαπιστώνω πως η ιδιότητα «η στιγμιαία ταχύτητα είναι εφαπτόμενη στην τροχιά» αναφέρεται ρητά στην κυκλική κίνηση, αλλά δεν τη βρίσκω να διατυπώνεται γενικά για οποιαδήποτε καμπυλόγραμμη κίνηση ή ειδικά για την παραβολική τροχιά της οριζόντιας βολής.
Οπότε, για να είναι το θέμα απολύτως συμβατό με τις γνώσεις των μαθητών, ίσως είναι προτιμότερο να δοθεί στην εκφώνηση ως πληροφορία ότι «σε κάθε σημείο της τροχιάς, η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης στην τροχιά στο σημείο αυτό» ή η άσκηση να δοθεί αργότερα αφού έχουν διδαχθεί οι μαθητές την προηγούμενη πρόταση. Έτσι δεν απαιτείται ούτε μαθηματική θεωρία εφαπτομένης παραβολής ούτε έννοια ακτίνας καμπυλότητας.

Καλημέρα παιδιά. Η εμπειρία δέιχνει δυστυχώς ότι οι μαθητές στην Α Λυκείου δεν προλαβαίνουν να διδαχτούν στην Άλγεβρα την παραβολή κι ας είναι στο εξώφυλλο του σχολικού βιβλίου 🙂
Οι περισσότεροι μπαίνουν στη Β Λυκείου έχοντας ακούσει από εμάς μόνο την παραβολή στο διάγραμμα x-t της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης.

Καλημέρα .
Γιώργο στην απόδειξη που εχεις κάνει πρέπει να δεις ότι το σωμα δεν κτυπα τελικα στο Α αλλα στο Τ . Το κεκλιμενο επίπεδο σχηματιζει γωνια φ με την οριζόντια διευθυνση και επειδη όπως εχει πει ο Παυλος η παραβολικη τροχια εφπαπτεται στο σημείο Γ του κεκλιμένου θα έχουμε ότι εκει η ταχύτητα θα σχηματίζει γωνια φ με την οριζόντια διευθυνση όπως φαινεται στη λύση του Παύλου . Ετσι η εφφ = (H-yΓ) / (d-xΓ)

Κώστα Καλημέρα. Δεν ασχολήθηκα ποτε με το που πεφτει η σφαιρα.Οι χρονοι και οι αποστασεις αναφερονται στο σημείο Γ. Ασχοληθηκα μονο με Γεωμετρια. Οι σχεσεις μου (1) και (2) είναι σωστες.

Γιώργο μάλλον εννοεις :https://i.ibb.co/MxYfdnnh/1.png

Τωρα καταλαβα Κωστα που μπερδευτικες. Η απόδειξη που κανω στο τελος είναι γενική απόδειξη και δεν ειναι ενα προς ενα στην ασκηση. Αποδεικνύω απλα ότι η εφαπτομενη σε καποιο σημειο της τροχιας κοβει την οριζοντια μετατοπιση απο το σημειο βολης στη μεση.

Θα ήθελα να προσθέσω κάποιες σκέψεις οι οποίες φαίνονται στο αρχείο που ακολουθει. Εχω τερματίσει το κεκλιμένο επίπεδο στο σημείο Γ.Το σημείο Γ είναι το σημείο που η εκφώνηση δίνει ότι η ταχύτητα που έχει το σώμα διερχόμενο από το σημείο αυτό εφάπτεται του κεκλιμένου επιπέδου . Αρα για το σημείο αυτό ισχύει η σχέση (2) . Αν είχαμε δώσει κατάλληλο μέτρο αρχικής ταχύτητας ώστε το σώμα να έπεφτε στο κεκλιμένο τότε θα ίσχυε η σχέση (3) . Βλέπουμε δηλαδη τι συμβαίνει όταν η τροχια εφάπτεται με το κεκλιμένο επίπεδο και τι συμβαίνει όταν η τροχιά τέμνει το κεκλιμένο επίπεδο .

https://i.ibb.co/WvYPHV82/2.png

Γεια σου Κώστα, σε ευχαριστώ για τον σχολιασμό και την παράθεση των σκέψεων σου.

Γεια σου Γιώργο, σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου και για τα επιπλέον ερωτήματα. Νομίζω πως για για βρούμε την ελάχιστη απόσταση ενός τυχαίου σημείου Ζ της τροχιάς του σώματος από το Α θα πρέπει το ΑΖ να είναι κάθετο στην ταχύτητα του σώματος στο Ζ και όχι το ΑΖ να είναι κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο. Και πάλι σε ευχαριστώ για το χρόνο σου.

Καλησπέρα Παύλο. Εχεις δικιο. Για αυτο κατεβασα την προηγουμενη αποδειξη για την ελαχιστη απόσταση που περνα η σφαιρα από το Α και το ανεβάζω τωρα σωστα .Μονο που χρησιμοποιω περισσότερα μαθηματικα (και δεν είναι για τους μαθητές): https://i.ibb.co/cXK1pwv0/SEP-40.png

Γεια σου Γιώργο πολύ όμορφη λύση, σε ευχαριστώ πολύ!

Καλημέρα Διονύση.
Πρωινές διαδρομές για την Α΄ γνώριμες ίσως
από την Β΄του παρελθόντος!
Γιατί όχι λοιπόν και στη Β΄Γυμν.

Γεια σου Διονύση, πολύ σημαντική ανάρτηση αφού ασχολείται με τα μεγέθη που θέτουν τις βάσεις για την μελέτη της κίνησης των σωμάτων.

Καλημέρα Διονύση. Φέτος ο Γιάννης πηγαίνει Α’ Λυκείου και θα έχει να μελετά θέματα από καλό δάσκαλο…

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Παντελή. Παύλο και Αποστόλη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Μεγάλωσε και ο Γιάννης…

Καλησπέρα Διονύση. Ωραία εργασία , της εποχής.
Θα μου επιτρέψεις όμως , αν τα καταφέρω, να δώσω την εργασία όπως είναι αλλάζοντας μόνο τα νούμερα . Τα διαιρούμε όλα με με το 25 τα κάνουμε cm και δουλεύουμε σε σελίδα Α4 με χάρακα ,πάνω σε μία ευθεία 25 cm .

Καλησπέρα Διονύση.Πολύ διδακτική πρόταση. Και ένας καλός μαθητής που μαθαίνει να τα ξεχωρίζει αυτά όλα, φτάνει στις Πανελλαδικές και διαβάζει Δ4
https://i.ibb.co/KpxtrrJ6/image.jpg

Γρηγόρη και Ανδρέα, καλό απόγευμα και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γρηγόρη προφανώς κάθε τροποποίηση του θέματος, για να έρθει στα μέτρα του συναδέλφου που διδάσκει, είναι όχι μόνο επιστρεπτή αλλά επιβεβλημένη…
Ανδρέα η συνέπεια όσων διδάσκουμε και όσων βλέπουμε στις πανελλαδικές, είναι πάντα ζητύμενο!

Καλημέρα Διονύση.

Πρωτότυπη με βαθμολογική διακριτική ικανότητα.

Διατηρείς αναλλοίωτη και θαυμαστή την ικανότητά σου, να διαμορφώνεις πρότυπα ερωτήματα και σε γνωστά μοντέλα!
Καλημέρα

Διονύση πολύ καλή άσκηση σε όλα τα σημεία!

Στο ερώτημα (iii) κάνεις αρχικά μια υπόθεση ότι αρχικά το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του (l1), από τη γεωμετρία βρίσκεις το μήκος του l2 στη θέση (2) και μετά από ΑΔΜΕ βρίσκεις την παραμόρφωση στη θέση αυτή που είναι διαφορετική από από τη διαφορά l2 – l1 έτσι καταλήγεις σε άτοπο .
Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε εξ αρχής ότι αρχικά το ελατήριο είναι σε επιμηκυνση και να κάνουμε το βήμα που έχεις κάνει στη συνέχεια ώστε να βρούμε το φυσικό μήκος του lo. Μου άρεσε όμως ο τρόπος που το χειρίστηκες!

Καλημέρα Διονύση . Εξαιρετική!!!
Στο (iii) ερώτημα μπορουμε να απαντήσουμε και στα δυο υποερωτηματα μαζί , θεωρώντας ότι αρχικά έχει αρχική επιμήμυνση L1-Lo=0,4-Lο ( και τελικη L2-Lo =0,5-Lo) και εφαρμοζοντας ΑΔΜΕ στη συνεχεια να βρουμε το Lo=0,3m , διαφορετικό από το L1.

Καλημέρα σε όλους. Πολύ καλή Διονύση!

Γεια σου Διονύση πολύ ωραία ανάρτηση!

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Ανδρέα, Παντελή, Κώστα, Γιώργο, Αποστόλη και Παύλο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Κώστα και Γιώργο, θα μπορούσε ένας μαθητής να ακολουθήσει και αυτήν την πορεία.
Βέβαια η εκφώνηση λέει ρητά “Να αποδειχθεί ότι το ελατήριο στην αρχική θέση ισορροπίας της σφαίρας, θέση (1), δεν έχει το φυσικό μήκος του. Στη συνέχεια, με δεδομένο ότι το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί (l0<l1)να υπολογιστεί το φυσικό μήκος του.”
Ζητάει δηλαδή μια ανεξάρτητη απόδειξη πρώτα για το φυσικό μήκος και στη συνέχεια, σαν επόμενο βήμα, τον υπολογισμό του μήκους.

Καλησπέρα Διονύση. Να αποδειχτεί ότι…Βραχυκύκλωμα στον υποψήφιο,που έχει μάθει να χρησιμοποιεί τυπολόγια και εις άτοπο νομίζει ότι είναι μόνο στη μισητή Γεωμετρία. Πολύ καλό το ερώτημα της επιτάχυνσης σε μια θέση που είναι προσωρινά ακίνητο, παραπέμποντας σε ταλάντωση.

Καλημέρα Ανδρέα.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλημέρα Παύλο και καλή Κυριακή! Ενδιαφέρον σενάριο, που σίγουρα θα βοηθήσει κάνοντας και τις συνδέσεις από τα προηγούμενα χρόνια.

Στο ερώτημα (β), κάποιος θα μπορούσε να επικαλεσθεί και την ανταλλαγή ταχυτήτων. Επίσης, στο ερώτημα (δ), ο έλεγχος της πραγματοποίησης της κρούσης θα μπορούσε να γίνει με την εύρεση της χρονικής στιγμής ακινητοποίησης των σωμάτων.

Μία σχεδιαστική παρατήρηση. Στο γράφημα φαίνεται ότι οι ταχύτητες των σωμάτων πριν από την κρούση είναι περίπου μηδενικές.

Καλημέρα Μίλτο και καλή Κυριακή! Σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο και τις παρατηρήσεις.
Στο (β), η ανταλλαγή ταχυτήτων πράγματι ισχύει για κεντρική ελαστική κρούση ίσων μαζών. Στη συγκεκριμένη άσκηση όμως δεν γνωρίζουμε αρχικά ότι η κρούση είναι ελαστική, αυτό ζητείται να αποδειχθεί. Για τον λόγο αυτό βρίσκουμε πρώτα από την ΑΔΟ την ταχύτητα του Σ₂ μετά την κρούση και στη συνέχεια, με έλεγχο της κινητικής ενέργειας, διαπιστώνουμε ότι η κρούση ήταν ελαστική.
Όσον αφορά το (δ), οι χρόνοι ακινητοποίησης που θα προέκυπταν αμέσως μετά την πρώτη κρούση δεν αρκούν, κατά τη γνώμη μου, για να αποδείξουν ότι θα πραγματοποιηθεί δεύτερη κρούση. Η πραγματοποίησή της εξαρτάται από τη σχετική κίνηση των σωμάτων, δηλαδή τόσο από τις ταχύτητές τους όσο και από τις επιταχύνσεις τους. Επιπλέον, η δεύτερη κρούση συμβαίνει πριν προλάβει να ακινητοποιηθεί κάποιο από τα δύο σώματα, οπότε οι αρχικά υπολογισμένοι χρόνοι ακινητοποίησης δεν πραγματοποιούνται τελικά.
Για το διάγραμμα, οι καμπύλες έχουν σχεδιαστεί με βάση τις εξισώσεις κίνησης. Η εντύπωση ότι οι ταχύτητες κοντά στο σημείο K είναι μικρές οφείλεται στη διαφορετική βαθμονόμηση των δύο αξόνων. Η γωνία που σχηματίζει οπτικά η εφαπτομένη με τον οριζόντιο άξονα εξαρτάται από την κλίμακα των αξόνων και όχι μόνο από την τιμή της dx/dt.
Σε ευχαριστώ και πάλι για την προσεκτική ματιά!

Καλησπέρα Παύλο. Ωραία άσκηση , χρησιμοποιείς και την εξίσωση θέσης , γραφική παράσταση θέσης όχι συνηθισμένη και νομίζω είναι μια περίπτωση που μπορεί κανείς να δει την εικόνα της εκφώνησης και να σκεφτεί , ωχ δύσκολη, διαβάζοντας όμως προσεκτικά πρόκειται για μια κατανοητή και βατή όπως λέμε περίπτωση.
Να σημειώσω μόνο πως νομίζω η τιμή της μάζας 1 kg δεν χρειάζεται , δηλαδή και άλλη τιμή να είχαν οι δύο ίσες μάζες πάλι το ίδιο θα συνέβαινε.

Γεια σου Γρηγόρη, χαίρομαι που σου αρέσει. Έχεις δίκιο, δεν παίζει κάποιο ρόλο η τιμή των μαζών αυτό που μας ενδιαφέρεις είναι ότι είναι ίσες. Η τιμή των μαζών δόθηκε για να καταλήξουμε σε νούμερα στον υπολογισμό Kολ(Πριν) και Κολ(Mετά) και να μην έχουμε στο αποτέλεσμα την μεταβλητή m. Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.

Καλημέρα Παύλο. Όμορφη!. Στους μαθητές ίσως ´φοβίσει’ το διάγραμα.
Επισης μπορούμε να ρωτήσουμε αν υπάρχει άλλη κρούση( που δεν υπάρχει αφου σταματανε (συγχρόνως!)τα δυο σώματα σε απόσταση 1m μεταξύ τους μετα 1 s απο την δευτερη κρούση.

Γεια σου Γιώργο σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα Παύλο.
Παρ’όλο που κι εγώ αρχικά θεώρησα ότι στο Κ του διαγράμματος οι κλίσεις ήταν μηδενικές και μπερδεύτηκαν τα “πράγματα” παρακάτω ,θεωρώ την άσκηση όμορφη με προσοχή στην κατανόησή της κατά την επίλυση.
Να είσαι καλά

Γεια σου Παντελή και από εδώ, σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα και καλή επιστροφή στα σχολεία.
Αφιερωμένη στους συναδέλφους και στους μαθητές τους, που σήμερα ξαναμπαίνουν στις αίθουσες…

Ευχαριστούμε Διονύση, καλή νέα σχολική χρονιά και στο ylikonet

Ευχαριστώ για το σχολιασμό Θοδωρή.

Πολύ καλή. Ευχαριστούμε Διονύση. Ξεκινάμε μια σχολική χρονιά με τα ταμεία των σχολείων άδεια, σε αίθουσες με θερμοκρασίες πάνω από 40 βαθμούς, με 27άρια τμήματα και τις οδηγίες περί συμπερίληψης. Θα ξαλαφρώσουν τουλάχιστον λίγο οι γονείς, αφού θα κάνουμε εμείς παιδοφύλαξη…

Ωραία άσκηση Διονύση .
Καλή δύναμη σε όλους.

Γεια σου Διονύση, όμορφη άσκηση, ευχαριστούμε.

Καλησπέρα Διονύση. Όμορφη όπως πάντα. Μήπως , για το τρίτο ερώτημα πρεπει να πουμε ότι, το Γ ακινητοποιείται στιγμιαία πριν την συγκρουση των Α,Β. Είναι φανερό, αφού το ενα δευτερολεπτο είναι μεγάλος χρονος σχετικά με τον χρόνο ακινητοποιήσης του Γ μετά την κρούση ,αλλά τα παιδιά δεν μπορούν να το αποδείξουν.

Όχι , ζητάς την ορμή του συστηματος . Για αυτό δεν χρειάζεται. Νομιζα την ορμή της κάθε σφαίρας.

Καλησπέρα και καλή σχολική χρονιά σε όλους!
Ευχαριστούμε Διονύση. Ερώτημα συνάντησης όμως σε μαθητές που την είχαν εκτός στην Α Λυκείου…;;!!
Να είσαι καλά και καλή δύναμη σε όλους!

Καλό απόγευμα συνάδελφοι.
Ανδρέα, Γρηγόρη, Παύλο, Γιώργο και Μίλτο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Μια τέτοια συνάντηση, που η ενδεδειγμένη και ικανή απάντηση, είναι η πρώτη από τις παραπάνω, δεν πρέπει Μίλτο να μπορεί να επεξεργαστεί ένας υποψήφιος;

Φυσικά και πρέπει Διονύση, όπως φυσικά και πρέπει να διδάσκουμε τη συνάντηση στην Α΄ Λυκείου.

Διονύση καλησπέρα.
Ωραίο θα ηταν σαν θέμα καθως συνδυαζει και γνωσεις Α Λυκείου.

Καλημέρα Μίλτο και Χρήστο και σας ευχαριστώ για το σχόλιο…

Διονύση, τώρα διάβασα την ανάρτηση…..μας παραπλανάς… βάζεις τίτλο για δύο κρούσεις, ενώ εγώ μετράω τρεις….

Η ταχύτητα της Α θα μηδενιστεί κατά την 2η κρούση των Α, Β και 3η συνολικά, επιβεβαιώνοντας τη σχέση που αναφέρθηκε πρώτα από τον Ανδρέα (Βαλαδάκη) και μετά από εμένα (m1/m2)=3 και 1+2(<υ2>/υ1)=1+2=3, άρα (m1/m2)=1+2(<υ2>/υ1),
όπου <υ> απόλυτη τιμή ταχύτητας

Κάτι που ξεχάστηκε

https://i.ibb.co/ZPpV5Wg/image.png

Καλημέρα Παύλο . Καλή άσκηση για μελέτη πάνω στη μετατόπιση και το διάστημα.

Σε ευχαριστώ Γρηγόρη για το σχόλιο, χαίρομαι που δου αρέσει.

Καλησπέρα Παύλο. Εξαιρετική!.Νομίζω ότι δεν χρειάζεται τοση ανάλυση στην αρχή.Τα διαστηματα είναι θετικά αρα η μετατοπιση είναι η διαφορα του αθροίσματος των θετικων διαστηματων μειον το αθροισμα των διαστηματων που διηνήθηκαν στην αρνητική κατευθυνση.

Γεια σου Γιώργο σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει. Ναι όντως θα μπορούσα να το γράψω πιο γρήγορα αλλά ήθελα να είναι πιο αυστηρά διατυπωμένη από μαθηματικής άποψης η δικαιολόγηση.

Παύλο καλησπέρα.
Πολύ καλή. Για ανήσυχους μαθητές.

Γεια σου Χρήστο, σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Μετά από μια κρούση, μπορεί το κινούμενο σώμα να παρασύρει ένα άλλο, με το οποίο βρίσκεται σε επαφή;
Η πρόσφατη ανάρτηση του Χρήστου “Ελάχιστος συντελεστής τριβής“, ήταν η αφορμή για την παρούσα διερεύνηση.
Οπότε δικαιωματικά του αφιερώνεται!

Γεια σου Διονύση, πολύ όμορφη άσκηση!

Καλημέρα Παύλο.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλησπέρα Διονύση. Πολυ όμορφη οπως πάντα. Μια εναλλακτική οπτική:https://i.ibb.co/Dffd4Pg9/sep12.png

και…https://i.ibb.co/m5ZBRPYW/sep13.png

Ωραίο θέμα Διονύση με ενδιαφέροντα συμπεράσματα.
Προσωπικά χρησιμοποίησα το ΣF=ΔP/Δt στο κάτω σώμα.

Καλησπέρα Διονύση. Ωραία προσέγγιση – διερεύνηση σε ένα “απαγορευμένο” θέμα. Έτσι όπως το έστησες νομίζω ότι άρονται τα περιοριστικά μέτρα, αφού δεν υπάρχει ολίσθηση. 😉

Διονύση καλησπέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση.

Το κάλυψες πλήρως το θέμα με την κρούση και στο πάνω και στο κάτω σώμα!

Σκέφτομαι μήπως μπορούμε να αποδώσουμε κάποιο φυσικό νόημα στο συμπέρασμα ότι αν η κρούση γίνεται στο πάνω σώμα καταλήγουμε σε μέγιστη μάζα για το κάτω ενώ αν η κρούση γίνεται στο κάτω σώμα απαιτείται ελάχιστη μάζα στο πάνω.

Για την πρώτη περίπτωση θα μπορούσαμε να σκεφτούμε το εξής: Το σώμα Σ1 βρίσκεται πάνω στο Σ2 και για να το συμπαρασύρει πρέπει να έχει μικρή μάζα. Αν το κάτω σώμα έχει πολύ μεγάλη μάζα κατά πάσα πιθανότητα θα γλιστρήσει. Σαν να θέλει να συμπαρασύρει ένα αυτοκίνητο. Όπως εμείς με την παλάμη μας να θελουμε να σπρώξουμε ένα τραπέζι. Πιο ιθανό είναι να γλιστρήσει η παλάμη στο τραπέζι.

Στη δεύτερη περίπτωση το κάτω σώμα δέχεται την κρουστική δύναμη από το βλήμα η οποία είναι πολύ μεγάλη και για να συμπαρασύρει και το πάνω σώμα να κινηθεί μαζί με αυτό απαιτείται μία μεγάλη στατική τριβή. Αλλιώς το κάτω σώμα θα γλιστρήσει ανάμεσα στο δάπεδο και το πάνω σώμα. Με την αύξηση της μάζας του πάνω σώματος αυξάνουμε την τριβή και αποφεύγουμε την ολίσθηση.

Καλημέρα συνάδελφοι.
Γιώργο, Γρηγόρη, Ανδρέα και Χρήστο σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις τοποθετήσεις.
Χρήστο, τα συμπεράσματα που αναλύεις, είναι αυτά που και κατά την δική μου άποψη πρέπει να μείνουν, σαν συμπέρασμα…
Τα υπόλοιπα είναι πράξεις…

Καλημερα Παυλε
Ενδιαφερουσα η προσεγγιση σου.
Μια απορια μονο.Η σχεση στην οποια εκφραζεις τον ρυθμο μεταβολης της θεσης δεν πρεπει να γραφει στο δευτερο μελος 20i +30j ως διανυσματικο αθροισμα?

Καλημέρα σε όλους. Παρμενίωνα έκανα λάθος και έβαλα άλλο αρχείο. Για να έχει νόημα το ερώτημα σου επισυνάπτω σε φωτογραφία το τμήμα του αρχείου που αντικατέστησα.
Ναι συμφωνώ πως θα ήταν καλύτερο να ήταν bold τα μοναδιαία διανύσματα.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο.

https://i.ibb.co/qLC8CwzP/IMG-5525-1788844926-8082.jpg

Καλησπερα Παύλο. Όμορφη και πολυ ενδιαφέρον το τελευταιο ερώτημα.
Μια μαθηματική προσεγγιση σε αυτό που απευθύνεται καλυτερα στα Μαθηματικά Γ’Λυκείου :https://i.ibb.co/qMyn0DBp/sep10.png

Γεια σου Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο και την όμορφη λύση του δεύτερου ερωτήματος.

Καλησπέρα Παύλο. Καλή σχολική χρονιά! Ωραία άσκηση. Πρωτότυπο τελευταίο ερώτημα, για πολύ καλούς μαθητές. Μακάρι να έχω φέτος από αυτούς…

Καλησπέρα. Σε ευχαριστώ για το σχόλιο Ανδρέα, χαίρομαι που την βρίσκεις ενδιαφέρουσα. Καλή σχολική χρονική να έχουμε!

Γεια σου Παύλο. Έξυπνο θέμα, όπου πρέπει να προσεχθεί ότι το σύστημα μετά την κρούση είναι συνεχώς μονωμένο. Να πούμε ότι η σχέση των ταχυτήτων που υπολογίζεις στο Β2 ισχύει κάθε στιγμή μετά την κρούση. Επίσης για το Β3 επειδή οι μαθητές δεν γνωρίζουν σχετικές ταχύτητες, θα αρκούσε μια αναφορά στη σχέση υ1+υ1′ = υ2+υ2′ του σχολικού.

Γεια σου Αποστόλη σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει. Πολύ σωστές οι παρατηρήσεις σου. Έκανα τις απαραίτητες διορθώσεις.

Καλησπέρα Παύλο.
Πολύ όμορφη. Όπως τονίζει ο Αποστόλης πρέπει να προσεχθεί ότι είναι συνεχώς μονωμένο το σύστημα. Μου θύμισε την ταυτόχρονη κίνηση δύο ράβδων σε μ.π.

Καλησπέρα !

Παύλο πολύ καλή σκέψη , πάρολο που υπάρχουν τριβές το έχεις ρυθμίση να δίνουν ΣFεξ=0 .

Θα σας πάω λίγο παλιότερα σε μια σχετική άσκηση που είχε ανεβάσει ο Δ. Πάλμος έχει πολύ ενδιαφέρον και αυτή !
Ε Δ Ω

Γεια σας Χρήστο και Κώστα, ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σας αρέσει. Χρήστο ναι υπάρχουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά στα δύο φαινόμενα. Κώστα δεν την θυμόμουν την άσκηση του Δημήτρη (γεια σου Δημήτρη) η οποία είναι πάρα πολύ όμορφη, σε ευχαριστώ που την έφερες στο προσκήνιο.

Καλησπέρα στην παρέα. Τώρα που την ξαναβλέπω μήπως πρέπει να δοθει ότι τα δύο σώματα σταματούν ταυτόχρονα;

Γεια σου Αποστόλη και πάλι. Για να διατηρείται το σύστημα μονωμένο συνεχώς πρέπει να ακινητοποιούνται ταυτόχρονα. Σε αυτό το αποτέλεσμα καταλήγεις αν χρησιμοποιήσεις τα αποτελέσματα των Β₁ και Β₂.

Καλημέρα Παύλο. Σωστά, πρέπει κάθε στιγμή ΣFεξ = 0, άρα αναγκαστικά σταματούν ταυτόχρονα.

Γεια σου Διονύση και καλή σεζόν! Από τα κλασικά σου θέματα, που βάζουν το μαθητή να σκεφτεί. Επειδή μετά το i) η κρούση θεωρείται ελαστική, μήπως το δεδομένο αυτό έπρεπε να δοθεί πριν το ii) ;

Καλό απόγευμα Αποστόλη και σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Εννοείς να μην ανήκει η φράση “Αν η κρούση είναι ελαστική ” στο υποερώτημα ii), αλλά να δοθεί πριν; Τώρα που το σκέφτομαι, δίκιο έχεις. Θα το αλλάξω…

Καλησπέρα Διονύση. Εξαιρετική. Η κρούση δεν είναι ένα φαινόμενο, που απλώς υπάρχει για να έχουμε μετά κεκλιμένα επίπεδα, ελατήρια κ.λ.π. Έχει από μόνη της μια ιστορία, παρελθόν, μέλλον. Να δω πόσοι μαθητές θυμούνται από την Α΄την έννοια θέση και τα σχετικά διαγράμματα.

Καλησπέρα Διονύση.
Όπως αναφέρει ο Αποστόλης αυτά τα θέματα παραπέμπουν σε εσένα…
Άλλοι συμβουλεύονται το ΑΙ ενώ εμείς το ΔΙ

Καλησπέρα. Καλή σχολική χρονιά σε όλους.
Άσκηση που χρειάζεται να έχουμε καταλάβει στην Α΄ τη διαδικασία με τις θέσεις όπως είπε και ο Ανδρέας
Διονύση , νομίζω στη λύση στο ερώτημα iii) υποερώτημα , α) ενώ γράφεις σωστά x1=4m νομίζω μετά το αντικαθιστάς με x1=2m στους τύπους.

Συγνώμη , λάθος δικό μου το x1=2m είναι σωστό απλά αναφέρεις x1=4m αλλά στους τύπους είναι εντάξει.

Καλημέρα συνάδεφοι.
Ανδρέα, Χρήστο και Γρηγόρη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γρηγόρη διόρθωσα και την “ανορθογραφία”…

Καλησπέρα Διονύση σε ευχαριστώ για το σχόλιο και την προτροπή. Την ανάρτηση την έχω κάνει ως άρθρο για να ξεκαθαρίσω ότι δεν απευθύνεται σε μαθητές.

Έχεις δίκιο Παύλο.
Δεν πρόσεξα την ετικέτα και νόμιζα ότι απευθυνόταν σε μαθητές…

Παύλο ενδιαφέρον θέμα και αρκετά περιπλοκο …. 🙂

Γεια σου Κώστα σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο, καλό απόγευμα.

Καλό απόγευμα Παύλο.
Να μην σου ευχηθώ σήμερα τη “καλή σχολική χρονιά”, αφού εσύ καιρό τώρα έχεις τις μηχανές στο φουλ!
Προσοχή στη χρήση της Τ.Ν. μόνο, για να μην πάμε σε πολύ δύσκολα θέματα!
Μια αυτοσυγκράτηση επιβάλλεται…

Παύλε καλησπέρα.
Ίσως δεν έχω καταλάβει κάτι καλά. Αν το κουτί φέρει μαγνητικό πεδίο έντασης Β που μπορεί κινείται οριζόντια με ταχύτητα V ισοταχώς μαζί με το φορτίο τότε δεν υπάρχει σχετική κίνηση φορτίου και μαγνητικού πεδίου οριζόντια και δεν υπάρχει δύναμη μαγνητική εξαιτίας της κοινής τους ταχύτητας. Δηλαδή βλέπω δύναμη μόνο εξαιτίας της ταχύτητας υy.

Γεια σου Χρήστο, όλη η διάταξη (κουτί – σώμα) βρίσκεται εντός ομογενούς μαγνητικού πεδίου, το γράφει η εκφώνηση.

Οκ Παύλο απλά στο σχήμα φαίνεται να περιορίζεται το μ.π. στο κουτί και υπέθεσα ότι κινούταν μαζί με αυτό. Ίσως στο σχήμα να διεύρυνες το μ.π. δεξιά και αριστερά του κουτιού. Νομίζω θα είναι πιο ξεκάθαρο.
Πάμε στην άσκηση λοιπόν. Πολύ καλή για διαγωνισμό. Βάζει πολλά μέσα. Προκρίνω το β ερώτημα προσωπικά που μου άρεσε πολύ.
Με ποιο πρόγραμμα της Τ.Ν. δουλεύεις;

Χρήστο το ChatGPT χρησιμοποιώ. Κερδίζω χρόνο στην διατύπωση της εκφώνησης, στην δημιουργία του σχήματος της εκφώνησης, στην εύρεση κατάλληλων τιμών των μεγεθών για να προκύψουν συγκεκριμένα αποτελέσματα που θέλω και στην δημιουργία της λύσης. Γενικά το μεγάλο όφελος είναι ο χρόνος και η πιο όμορφη παρουσίαση.

Πολύ όμορφη Παύλο με αυξημένη δυσκολία εφόσον η συνολική τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη.

Καλημέρα. Σε ευχαριστώ Θοδωρή για το σχόλιο χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα Διονύση. Πολυ καλη : Διδακτική , όπως παντα, βατή για ένα καλό μαθητη που θα την λυσει ευχαριστα ,ενω πολλοί μαθητές θα μαθουνε αρκετα πραγματα όταν διαβάσουνε την λύση της

Καλησπέρα. Μία ακόμα ωραία άσκηση.
Νομίζω έχει ενδιαφέρον το μέτρο της τάσης του νήματος.
Στη θέση 2 επειδή μηδενίζεται η ταχύτητα είναι μηδέν το μέτρο , όπως και στη θέση 1 άλλη τιμή έχει όταν το σώμα είναι ακίνητο και άλλη όταν κινείται.

Καλημέρα παιδιά.
Γιώργο και Γρηγόρη, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.

Καλημέρα Διονύση.
εν αρχή η διδασκαλία!
Μια άσκηση εξόχως διδακτική, αυξανόμενης διαβαθμισμένης δυσκολίας από το πρώτο ερώτημα προς το τρίτο, θίγει πράγματα που πρέπει να είναι απαραίτητα στη φαρέτρα του μαθητή!

Καλησπέρα Διονύση,
οπως είπαν και οι συνάδελφοι η άσκηση είναι αρκετά διδακτική και έχει ωραία φυσική με αποκορύφωμα το τελευταίο ερώτημα.

Πρόδρομε και Χρήστο καλό βράδυ.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τον καλό σας λόγο…

Καλημέρα Παύλο.
Ωραία άσκηση και παρατηρούμε πως για να έχουμε ανατροπή πρέπει υποχρεωτικά η δύναμη ελατηρίου στη ράβδο στη συγκεκριμένη περίπτωση , όπως αναφέρεις , να έχει φορά προς τα πάνω επομένως το ελατήριο πρέπει να επιμηκύνεται άρα η ακραία θέση είναι πάνω από τη θέση φυσικού μήκους . Αν θέλουμε να έχουμε ανατροπή η αρχική συσπείρωση ή επιμήκυνση πρέπει να είναι μεγαλύτερη, τουλάχιστον διπλάσια, από τη συσπείρωση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας.

Καλημέρα. Γεια σου Γρηγόρη σε ευχαριστώ για το σχόλιο και χαίρομαι που σου αρέσει.

Καλημέρα Παύλο. Όμορφη!
Μια παρόμοια προσέγγιση:
Η μαζα του κεκλιμένου κομματιού είναι (1/3)*3,75 =1,25 Κg και η ροπή της ως προς
το (Ο) : 1,25*g*0,8 *X=10 * Χ (S.Ι) δεξιοστροφα όπου X =L/6 αν L το μηκος όλης της ράβδου.
Η ροπη του οριζόντιου κομματιού είναι : 2,5 *g * 2*Χ=50*Χ αριστεροστροφα
Αρα το ελατηριο πρεπει να εχει δυναμη προς τα πάνω , ωστε να δώσει δεξιοστροφη ροπή :
F * 4*X= 50*Χ- 10*Χ =40*X => F=10N
Το ελατήριο έχει αρχική συσπειρωση : m*g/K= 0,1 m και η μεγιστη επιμήκυνσή του θα πρέπει να είναι : F/K= 10/100 = 0,1m.
Άρα μεγιστο πλατος 0,1+0,1 = 0,2m

Γεια σου Γιωργο, ευχαριστώ για την λύση και χαίρομαι που σου αρέσει.

Αφιερωμένη στον Παύλο Αλεξόπουλο, αφού μια ερώτηση φίλου, πάνω στην δική του ανάρτηση, ΕΔΩ, στάθηκε η αφορμή…

Καλημέρα. Πολύ ωραία άσκηση Διονύση, ευχαριστώ για την αφιέρωση!

Καλημέρα Διονύση.
Με προβληματίζει το εξής:
Αν η αρχική ταχύτητα ισούται με το μηδέν, προκύπτει ο ΑΑΤ με σημεία στροφής (μηδενισμού της ακτινικής ταχύτητας) σε γωνία 0 μοίρες.
Αν η αρχική ταχύτητα είναι πολύ μεγάλη, η επιμήκυνση r του ελατηρίου γίνεται πολύ μεγαλύτερη του φυσικού του μήκους, L, και το δυναμικό προσομοιάζει αυτό του ισότροπου ταλαντωτή, 0.5k(L-r)^2=0.5kr^2 (για r>>L). Τότε η τροχιά γίνεται οριακά ελλειπτική και τα σημεία στροφής προσεγγίζουν τις 90 μοίρες.
Άρα το πρώτο σημείο στροφής πρέπει να είναι πάντα μικρότερο των 90 μοιρών. Μπορεί βέβαια να επιτύχουμε κάθετη ταχύτητα στον άξονα του ελατηρίου στις 90 μοίρες, αν το πρώτο σημείο στροφής προκύτει για παράδειγμα στις 45 μοίρες (λόγω συμμετρίας).
Είμαι εκτός, δεν μπορώ να κάνω υπολογισμούς, διάβασα πολύ γρήγορα την λύση, οπότε μορεί να λέω και χαζομάρες (δηλαδή τα συγκεκριμένα νούμερα μπορεί να είναι μια χαρά).

Καλημέρα παιδιά.
Στάθη δεν έχω εδώ το i.p.
Ας το φτιάξει κάποιος.

Καλημέρα από Γαλαξείδι παιδιά.

Καλημέρα παιδιά από βόρειο ημισφαίριο.
Ωραίος και … βαρύς ο προβληματισμός του Στάθη. Τα i.p δεν μπορώ να τα δω. Κάτι πιο ελαφρύ αλλά δεν ξέρω αν στέκει. Αν ήταν νήμα στην γωνία των 90 μοιρών προφανώς το μήκος παραμενει σταθερό και v καθετη στην διεύθυνση του νήματος. Φανταζομαι στη θέση του νήματος τωρα υπερβολικά σκληρό ελατηριο Κ πολύ μεγάλο αλλά οχι απειρο (δηλ νήμα). Το μηκος του ελατηρίου θα αυξομειωνεται. Αλλα πάντα θα αποκτα ελάχιστο ή μεγιστο μήκος όταν v κάθετη στην διευθυνση του.
Τελικα αν
Κ πολύ μεγάλο μεγιστο μήκος πριν τις 90 μοιρες τείνοντας στις 90 όσο το κ μεγαλώνει.
Πάντως στις 90 μοιρες v θα σχηματίζει γωνία οξεια με διευθυνση προς τα πάνω ώστε να υπάρχει ακτινικη ταχυτητα προς το σημειο πρόσδεσης

Πάντως η μεγάλη αξία της άσκησης και αυτά που οφείλει να κρατήσει ο μαθητής είναι.
1) ελάχιστο ή μεγιστο μήκος έχει το ελατήριο όταν δεν υπάρχει συνιστώσα ταχυτητα στην διευθυνση του ελατηριου. Δηλ v καθετη στην διευθυνση του ελατηρίου.
2) Τότε η ταχύτητα του σωματος είναι αντίστοιχα μέγιστη και ελάχιστη.
3) Όταν το σώμα κινειται υπό την επιδραση δυναμης που έχει φορά πάντα σε ένα συγκεκριμένο σημείο η στροφορμή ως προς αυτό το σημειο διατηρείται αφου η ροπη ως προς αυτο το σημειο είναι 0.
Ας πω και μια … κακία.
Οφείλει να γνωρίζει ο μαθητής ότι ένα υλικό σημείο που δεν εκτελεί κυκλική κίνηση έχει στροφορμή?
Απάντηση.
Ναι οφείλει κι ας μην του χρειαστεί ποτέ σε εξετάσεις

Καλησπέρα,
από θέση Α σε θέση Β, η σχέση : mg l + ½ m υο^2 = ½ m υ^2 + ½ k x^2 ( x = l – lo ) είναι λάθος;

συγνώμη, δεν πρόσεξα, η διάταξη είναι σε οριζόντιο επίπεδο !!

Καλό απόγευμα Γιώργο και Θεόδωρε.
Ναι Θεόδωρε το σχήμα είναι σε κάτοψη και η κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο.
Γιώργο σε βλέπω σταθερό ως προς το ημισφαίριο, στο ίδιο ημισφαίριο βρίσκομαι και γω άλλωστε, αλλά συμφωνώ μαζί σου όχι μόνο στην επιλογή του ημισφαιρίου, αλλά και ως προς όλα τα υπόλοιπα…

Γεια σου Διονύση.
Τελικα αν
Κ πολύ μεγάλο μεγιστο μήκος πριν τις 90 μοιρες τείνοντας στις 90 όσο το κ μεγαλώνει.
Δεν ξέρω αν το πρόσεξες αλλά είχα γράψει το παραπάνω.
Τώρα ξαναβλέποντας το έπρεπε να γράψω.
Τελικα αν
Κ πολύ μεγάλο μεγιστο μήκος πριν τις 90 μοιρες τείνοντας στις 0 όσο το κ μεγαλώνει.

Τις 0 μοίρες και τις 90 μοίρες τις εξέλαβα ως ισοδύναμες εκφράσεις Γιώργο

Διονύση καλησπέρα και από Αθήνα.
Η άσκηση είναι πολύ καλή. Αν θες μπορείς να “μεγειρέψεις” την αρχική ταχύτητα, ώστε το πρώτο σημείο στροφής να προκύπτει σε οποιοδήποτε υποπολλαπλάσιο των 90 μοιρών (πχ 45) και να διατηρήσεις τα ίδια ερωτήματα απευθείας στις 90 μοίρες, αποκρύπτοντας ότι είναι το δεύτερο σημείο στροφής.
Η τροχιά του υλικού σημείου θα μοιάζει σαν μία γιρλάντα.

Καλημέρα συνάδελφοι.
Στάθη, σε αυτό που λες, έχεις δίκιο. Η θέση της ελάχιστης ταχύτητας δεν είναι στις 90°, αλλά νωρίτερα.
Όταν έστηνα την άσκηση την δοκίμασα στο i,p, και είχα πάρει την εικόνα:
https://i.ibb.co/gMF2McTP/2026-08-22-104151.png
Η ελάχιστη ταχύτητα είναι πράγματι 3m/s με μήκος ελατηρίου τα 0,8m. αλλά σε θέση που δεν με βόλευε, αφού ήθελα μια απάντηση στο πρώτο ερώτημα “βολική” και εύκολο υπολογισμό της μεταβολής της ορμής. Γι΄αυτό έκανα μια σκόπιμη λαθροχειρία…
Δίνω και το αρχείο i.p. που ζήτησε ο Γιάννης.
Καλημέρα στην Κρήτη, από Ζάκυνθο…

Δίνω και μια νέα εκδοχή της άσκησης, με βάση την παρατήρηση του Στάθη για την θέση όπου το ελατήριο αποκτά (για πρώτη φορά) το μέγιστο μήκος του.
Αν και πιστεύω ότι διδακτικά, η αρχική εκδοχή είναι προτιμότερη, για την ακρίβεια της εξέλιξη της κίνησης, ας δούμε την νέα επεξεργασία σε αρχείο  pdf η σε αρχείο  Word.

Καλημέρα Διονύση. Δυσκολη άσκηση και όχι για μαθητές.
Μπορεί να γίνει για μαθητές μενοντας στην αρχική διατύπωση αλλάζοντας όμως την αρχικη ταχύτητα σε υ0=2,55 m/s (για αυτο βοηθησε και ο “γραμματέας”)
Ετσι καθε 45 μοιρες η ταχύτητα θα είναι κάθετη στον άξονα του ελατηρίου και θα μπορεις να ζητήσεις τι συμβαίνει συις 90 μοιρες.

Καλημέρα Γιώργο.
Μάλλον την πάτησα και εγώ σε προηγούμενο σχόλιο και ο “γραμματέας”…
Αν σε 45 μοίρες η ταχύτητα γίνει κάθετη με το ελατήριο σε επιμήκυνση, στις άλλες 45 μοίρες (σύνολο 90) θα γίνει ξανά μεν κάθετη, αλλά με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Προτιμότερες είναι οι 30 μοίρες για την άσκηση της ανάρτησης.
Αν αφήσουμε όλα τα δεδομένα τα ίδια και θέσουμε σταθερά ελατηρίου 261N/m, τότε στις 30 και 90 μοίρες βγάζω αναλυτικά επιμήκυνση 3.73cm, σύμφωνα με το παρακάτω γράφημα (επιμήκυνση -γωνία στροφής).
https://i.ibb.co/Kp5d273K/3D-HO.png

Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα Στάθη.
Ο “γραμματέας” κάνει και λάθη Γιώργο!
Έχει δίκιο ο Στάθης…

Καλημέρα σε όλους.
Στάθη καλημέρα,πολύ σωστός.
Πρότεινα 45 μοίρες για πιο εύπεπτη αντιμετώπιση της άσκησης.
Αν μάλιστα πει ότι “στις 90 μοίρες το ελατήριο ,αφού έχει επιμηκυνθεί προηγουμένως , έχει ξανά το φυσικό του μήκος” ,πιστεύω ότι θα είναι πιο φιλική στους μαθητές.
Διονυση καλημέρα. Τον έλεγξα με τον ” γραμματεα’ ,επειδή δεν του έχω απόλυτη εμπιστοσύνη, και μετά από αρκετέςε προσπάθειες κατέληξε στο υο=2,55m/s,
Και εγώ δεν του έχω απόλυτη εμπιστοσύνη και προτιμώ τις δικές μου πράξεις αλλά στα δύσκολα και χρονοβόρα ολοκληρωματα τον χρησιμοποιώ , με επαλήθευση από το wolfram alpha.

Καλημέρα. Η ανάρτηση είναι αφιερωμένη στον Διονύση γιατί η ιδέα προήλθε από την ανάρτηση του : Μια πλάκα και η κάθετη αντίδραση.

Καλημέρα Παύλο Μια αλλη ,γεωμετρική οπτική για το β ερώτημα:https://i.ibb.co/21f6vjX3/AUG10.png

Γεια σας Κωνσταντίνε και Γιώργο, ευχαριστώ πολύ για τις όμορφες λύσεις σας με χρήση γεωμετρίας.

Καλημερα Παύλο. Ωραια ασκηση και δυσκολη. (οπως ολες που βαζεις 🙂 ) Γραφω μια αλλη διατυπωση λυσης του ερωτηματος 2) χωρις πολλες πολλες εξηγησεις.
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEpk3j6H_JdoEiUizMX7TMkllIOsi7Z7dS4CO7sh0iLLASWWe_0qanYBrcQEGPqcKLvnDc2MS7EBrreG0mpjiWK2ohzpN7do7AosaZW1shSNYOY7FffxsJPIOxu_rtpqsUDxPGdaQjzi1RnK9LnNTZvDXKF57CdJf4IVB7g0o5hkKRdQbo5xktWEw6REPV/w606-h640/%CE%A3%CF%84%CE%B9%CE%B3%CE%BC%CE%B9%CF%8C%CF%84%CF%85%CF%80%CE%BF%20%CE%BF%CE%B8%CF%8C%CE%BD%CE%B7%CF%82%202026-08-20%20122406.png

Καλημέρα Παύλο.
Σε ευχαριστώ για την αφιέρωση…
Βλέπω μεγάλο παιχνίδι με οριακές συνθήκες ισορροπίας!

Καλημέρα σε όλους. Όμορφη Παύλο! Για την κατεύθυνση της Τ μπορούμε να δικαιολογήσουμε προκαταβολικά ότι είναι προς τα πάνω, αφού όποιο και να είναι το σημείο εφαρμογής της θα πρέπει να ικανοποιείται το Στ = 0 ως προς το Α.

Γεια σου Αποστόλη χαίρομαι που σου αρέσει και σε ευχαριστώ για την πολύ εύστοχη παρατήρηση.

Καλημέρα παιδιά.
Ωραία άσκηση και ωραίες όλες οι λύσεις.
Δεν το έψαξα αν οι γεωμετρικές λύσεις παίζουν στην περίπτωση που ο συντελεστής τριβής δεν είναι…όμορφος.
΄Εδωσα μια λύση χωρίς να πάρω από την αρχή υπόψη το γεγονός ότι στην οριακή περιστροφική ισορροπία η πλάκα οφείλει να περιστραφεί περί το Δ. Ας πούμε ότι δεν μου έκοψε. Μου έκανε όμως εντύπωση ότι προέκυψε αβίαστα.
https://i.ibb.co/HLPd9VPB/plaka.jpg

Καλημέρα. Γιώργο (Κόμη) πολύ ωραία λύση σε ευχαριστώ, η οποία δείχνει πως εφόσον η δύναμη F ασκείται στο Α και το σώμα ισορροπεί τότε η δύναμη επαφής που δέχεται από τον τοίχο σε κάθε περίπτωση έχει σημείο εφαρμογής το Δ.

Καλημέρα και καλή Κυριακή!

Παύλο η ασκηση εχει όντως πολυ ενδιφέρον όπως άλλωστε έχουν επισημάνει και οι συνάδερφοι.

Να πω ότι θεωρεις πως στην κατάσταση οριακής στροφικής ισορροπίας το σώμα ταυτόχρονα οριακά δεν ολισθαίνει .

Γιώργο Κόμη θα ήθελα να δεις εκ νέου τη συνθήκη στροφική ισορροπίας ως προς το Κ διότι δεν έχεις λάβεις υπόψιν σου την ροπή της Fx ως προς το Κ .

Ενδιαφέρον θα ειχε μια διερεύνηση στην οποία η δύναμη F να σχηματίζει μια γωνία Θ (οξεία προφανώς) με την πλευρά ΑΔ του κύβου και να βρίσκαμε καθε φορά τον συντελεστη οριακής τριβής για κάθε διαφορετική θέση του σημείου εφαρμογής της δύναμης FT που ο τοίχος ασκεί στον κύβο

Καλή Κυριακή. Γεια σου Κώστα χαίρομαι που την βρίσκεις ενδιαφέρουσα και για τις παρατηρήσεις σου που είναι σωστές.

Kαλημέρα.
Κώστα σε ευχαριστώ και μπράβο για την επισήμανη.
Δεν μπορούσα να χωνέψω ότι δεν αξιοποιούσα το γεγονός ότι οριακή περιστροφική ισορροπία σημαινει στην ουσία ότι τείνει να περιστραφεί περι το Δ και ότι αυτό προέκυπτε.
Σε επικοινωνία που είχα με Παύλο (γεια σου Παύλο)
του είπα οτι πρέπει μάλλον να υπάρχει κύκλος στην αποδειξη που δεν μπορώ να εντοπίσω.
Τελικά σημερα κατάλαβα.
Σr,K = Fψ.α + Fx.d =mgα/2
Mη βάζοντας το Fx.d (αβλεψία) ήταν σαν να θεωρώ εκ των προτέρων ότι d =0 ,το οποίο αποδεικνύω ο βλαξ στην πορεία.

Παύλο και Γιώργο ανεβαζω μια ανάλυση για το θέμα συμφωνα με τη λογική που ανέφερα αρχικά ….

https://i.ibb.co/twjFQnqB/image.png

Γεια σου και πάλι Κώστα θα την δω αναλυτικά πιο μετά γιατί είμαι έξω τώρα. Γεια σου Γιώργο.

Πολύ ωραία μελέτη Κώστα σε ευχαριστώ πολύ!